יש כמה טכניקות של פירוק פולינום שמאפשרים לנו לכתוב אותם ככפל של שני פולינומים או יותר.
כדי ללמוד כיצד להדגיש מונח, בצע קיבוץ, כתוב כטרינום מרובע מושלם וסוגים רבים אחרים של מוצרים בולטים, בדוק אחד רשימה של תרגילי חשבונית פתורים שהכנו.
ראה עוד
תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...
המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...
שאלה 1. כתיבת הגורם המשותף לראיות, גורר את הפולינומים:
א) 15x + 15y
ב) x² + 9xy
ג) ab – a³b³
ד) a²z + abz
שאלה 2. חשב כל אחד מהפולינומים:
א) x² – xy – x
ב) 24x³ – 8x² – 56x³
ג) a.(x + y) – b.(x + y)
ד) b.(a – x) – c.(a – x)
שאלה 3. תוך שימוש בטכניקות מקבץ וטכניקות גורם משותף בראיות, גורם לפולינומים הבאים:
a) a² + ab + ax + bx
ב) bx² – 2by + 5x² – 10y
ג) 2an + n -2 בבוקר – מ
ד) ax – bx + cx + ay – by + cy
שאלה 4. הפולינומים שלהלן מציגים הבדלים של שני ריבועים. כתוב כל אחד מהם בצורה מוערכת.
א) a² – 64
ב) (x – 4)² – 16
ג) (y + 1)² – 25
ד) x² – (x + y)²
שאלה 5. חשב את הפולינום הבא על ידי כתיבה ככפל:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
שאלה 6. בדוק שכל אחד מהטרינומים למטה מייצג טרינום ריבועי מושלם, ואז בצע את הפירוק לגורמים.
א) a² – 10ab + 25b²
ב) x² – 8x + 25
ג) 9x² – 6x + 1
ד) 16a² + 24ab + 9b²
שאלה 7. השלם את הפולינום למטה כך שיהיה טרינום ריבועי מושלם.
x² + 4x
שאלה 8. בעזרת טכניקות פקטורינג, מצא את שורשי המשוואות:
א) x² – 9x = 0
ב) x² – 64 = 0
ג) y² – y = 0
ד) x² – 1 = 0
א) 15x + 15y = 15.(x + y)
ב) x² + 9xy = x.(x + 9y)
ג) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
ד) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
ב) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
ג) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
ד) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(ב – ג)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
ב) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
ג) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
ד) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
ב) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
ג) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
ד) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2א – 2ב). (4) =
4.(2א - 2ב)
א) a² – 10ab + 25b²
ראשית, ניקח את השורש הריבועי של המונחים שאנו בריבוע:
√a² = ה
√25b² = 5ב
כמו 2. ה. 5ב = 10ab → האיבר הנותר של הטרינום. אז הפולינום הוא טרינום ריבועי מושלם.
בוא נחשוב: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
ב) x² – 8x + 25
√x² = איקס
√25 = 5
2. איקס. 5 = 10x → לא תואם את האיבר הנותר שהוא 8x. אז הפולינום אינו טרינום ריבועי מושלם.
ג) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → האיבר הנותר של הטרינום. אז הפולינום הוא טרינום ריבועי מושלם.
בואו נחשוב: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
ד) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = הרביעי
√9b² = 3ב
2. הרביעי. 3ב = 24ab → האיבר הנותר של הטרינום. אז הפולינום הוא טרינום ריבועי מושלם.
בואו נחשוב: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
עלינו לכתוב טרינום ריבועי מושלם באופן הבא: x² + 2xy + y² = (x + y)²
אז אנחנו צריכים למצוא את הערך של y. יש לנו:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
לפיכך, עלינו להוסיף את המונח y² = 2² = 4 לפולינום כך שיהיה טרינום ריבועי מושלם: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
א) הצבת x כראיה:
x.(x – 9) = 0
ואז x = 0 או
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
שורשים: 0 ו-9
ב) יש לנו הבדל בין שני ריבועים:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
כלומר, x + 8 = 0 או x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
שורשים: -8 ו-8.
ג) הצבת y לראיה:
y.(y – 1) = 0
אז y = 0 או y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
שורשים: 0 ו-1
ד) לזכור ש-1 = 1², יש לנו הבדל בין שני ריבועים:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
אז x + 1 = 0 או x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
שורשים: – 1 ו-1.
ראה גם:
