Sum Cube ו-Difference Cube הם שני סוגים של מוצרים בולטים, כאשר שני איברים מתווספים או מחסירים ולאחר מכן קובעים, כלומר, עם מעריך השווה ל-3.
(x + y) ³ -> קוביית סכום
ראה עוד
תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...
המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...
(x – y) ³ -> קוביית ההבדל
ניתן לכתוב את קוביית הסכום גם כ (x+y). (x+y). (x + y) וקוביית ההבדל כמו (x – y). (x – y). (x - y).
מוצרים אלה מקבלים את השם של מוצרים בולטים בשל החשיבות שיש להם, שכן הם מופיעים לעתים קרובות בחישובים אלגבריים.
כעת, זכרו שבמתמטיקה ניתן לכתוב את אותו ביטוי בצורה אחרת, אך מבלי לשנות את ערכו. לדוגמה, ניתן לכתוב x + 1 + 1 פשוט כ-x + 2.
לעתים קרובות, כאשר אנו משכתבים ביטוי, אנו יכולים לפשט ולפתור בעיות אלגבריות רבות. לכן, בואו נראה דרך אחרת לכתיבת קוביית הסכום וקוביית ההפרש, לפיתוחם אלגברית.
O קוביית סכום הוא המוצר המדהים (x + y) ³, שזהה ל-(x + y). (x+y). (x+y). בדרך זו נוכל לכתוב:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
עכשיו, בהתחשב בכך (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², ניתן לכתוב את קוביית הסכום כך:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
הכפלת הפולינום (x + y) על ידי (x² + 2xy + y²), אנו יכולים לראות ש:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
הוספת מונחים דומים, יש לנו שקוביית הסכום ניתנת על ידי:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
דוגמא:
פתח כל קובייה בצורה אלגברית:
א) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
ב) (1 + 2ב) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O קוביית הבדל הוא המוצר הבולט (x – y) ³, שזהה ל-(x – y). (x – y). (x – y). אז, אנחנו צריכים:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
כמו (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², ניתן לכתוב את הקובייה של ההפרש כך:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
כפל (x – y) ב- (x² – 2xy + y²), נוכל לראות ש:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
הוספת מונחים דומים, יש לנו שהקובייה של ההבדל ניתנת על ידי:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
דוגמא:
פתח כל קובייה בצורה אלגברית:
א) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
ב) (2א - ב) ³
(2a – ב) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (ב) ³
= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
אולי יעניין אותך גם:
