二重円弧三角関数

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の研究では 三角関数、以下の問題がよく発生します。 ダブルアーチ. したがって、具体的な公式を知ることで、正弦, 余弦それは正接このタイプの円弧は、多くの計算を簡素化する上で基本となります。

あらゆる円弧を考慮します $\dpi{120} \alpha$ 、二重円弧は測定円弧です。 $\dpi{120} 2\alpha$ . このようにして、次の正弦公式を取得したいとします。 $\dpi{120} 2\alpha$ 、の余弦 $\dpi{120} 2\alpha$ との接線 $\dpi{120} 2\alpha$ .

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これらの式は次から取得できます。 2 つの円弧の加算公式:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + Tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - Tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot Tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

のサインとコサインから 75° のサインを取得する例で、これらの式を使用したことを思い出してください。驚くべき角度 30°と45°。

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0.96$

さて、次の式がどのように成り立つかを見てみましょう。 二重円弧三角関数.

二重円弧の三角関数

測定円弧が与えられた場合 $\dpi{120} \alpha$ 、二重円弧は測定円弧です。 $\dpi{120} 2\alpha$ . 以来 $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , 2 つの円弧を追加する公式を使用して、二重円弧の公式を取得できます。

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

したがって、 ダブルアークサイン は次の式で得られます。

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

さて、次のことを見てください。

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - セン\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

したがって、 ダブルアークコサイン は次の式で得られます。

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

接線に関しては、次のようになります。

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + タン\、\boldsymbol{\alpha}}{1 - タン\、\boldsymbol{\alpha} \cdot タン\、 \boldsymbol{\alpha}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot Tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - Tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

したがって、 二重逆正接 は次の式で得られます。

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot Tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - Tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

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