代数式の因数分解

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代数式 は数値と変数を表示する式であり、 代数式因数分解 式を 2 つ以上の項の乗算として書くことを意味します。

代数式を因数分解すると、式を単純化できるため、多くの代数計算が容易になります。しかし 代数式を因数分解する方法?

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代数式を因数分解するには、次に説明する手法を使用します。

証拠による因数分解

証拠による因数分解は、代数式内の共通項を強調表示することで構成されます。

この共通項は、単なる数値、変数、またはその 2 つの乗算です。単項式.

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

この式の両方の項で変数が出現することに注意してください。 $\dpi{120} \mathrm{x}$ 、それでは、それを証拠に挙げてみましょう。

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

グループ化による因数分解

で 因数分解グループ化、共通の要素を持つ用語をグループ化します。次に、共通因数を前面に出します。

したがって、共通因数は次のようになります。多項式前の場合のように単項式ではなくなりました。

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

この式はいくつかの項の合計で形成されており、いくつかの項では次のようになります。 $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ そして他のものではそれが現れます $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

これらの用語をグループ化して、式を書き直してみましょう。

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

変数を入れてみましょう $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ それは $\dpi{120} \mathrm{y}$ 証拠として：

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y(2a+10)}$

さて、この用語を見てください。 $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ 次のように書き換えることができます $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ 、ここから数字 2 も証拠として挙げることができます。

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y(a+5)}$

多項式のように $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ 両方の用語で現れるので、もう一度証拠として挙げることができます。

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

したがって、 $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

2 つの平方の差を因数分解する

式が 2 つの平方の差である場合、それは底の合計と底の差の積として書くことができます。の 1 つです注目の製品:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

この式は次のように書き換えることができることに注意してください。 $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ つまり、9 と 2x を底とする 2 平方項の差です。

そこで、基数の合計と基数の差の積として式を書きましょう。

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

完全二乗三項式の因数分解

完全二乗三項式の因数分解では、注目すべき積も使用し、式を 2 つの項間の和の二乗または差の二乗として書きます。

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

次のように、式は完全二乗三項式であることに注意してください。 $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ それは $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .

次に、式を因数分解して、2 つの項の和の 2 乗として書くことができます。

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$\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121 (x + 11)\cdot (x + 11) (x + 11)^2}$

完全立方体因数分解

式が完全立方体の場合、式を和立方体または差分立方体として記述することによって因数分解します。

$\dpi{120} \mathrm{a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3 (a + b)^3 }$

$\dpi{120} \mathrm{a^3 - 3a^2b + 3b^2a + b^3 (a - b)^3 }$

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}$ .

この式は次の理由から完全立方体です。

$\dpi{120} \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} x}$

$\dpi{120} \sqrt[3]{8} \sqrt[3]{2^3} 2$

$\dpi{120} \mathrm{3\cdot x^2\cdot 2 6x^2}$

$\dpi{120} \mathrm{3\cdot 2^2\cdot x 12x}$

次に、式を因数分解して、2 つの項の合計の 3 乗として書くことができます。

$\dpi{120} \mathrm{x^3 + 6x^2 + 12x + 8 (x + 2)^3}$

2 つの立方体の和または差を因数分解する

式が 2 つの立方体の和または差である場合、次のように因数分解できます。

$\dpi{120} \mathrm{a^3 + b^3 (a+b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}$

$\dpi{120} \mathrm{a^3 - b^3 (a-b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}$

例：

式を因数分解する $\dpi{120} \mathrm{x^3 - 64}$ .

式は次のように記述できることに注意してください。 $\dpi{120} \mathrm{x^3 - 4^3}$ , つまり、2 つの立方体の差になります。

次に、次のように式を因数分解できます。

$\dpi{120} \mathrm{x^3 - 64 (x - 4)\cdot (x^2 - 4x+16)}$

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