დახურვა
მენიუ

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი (PFC) რიცხვების დათვლის ერთ-ერთი მეთოდია კომბინატორული ანალიზი. ეს პრინციპი საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ შესაძლო კომბინაციების რაოდენობა იმ ელემენტებთან, რომელთა მიღებაც შესაძლებელია სხვადასხვა გზით.

PFC არის მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო მეთოდი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ალბათობის პრობლემებში, შესაძლო მოვლენების რაოდენობის განსაზღვრაში.

მეტის ნახვა

რიო-დე-ჟანეიროს სტუდენტები ოლიმპიურ თამაშებზე მედლებისთვის იბრძოლებენ...

მათემატიკის ინსტიტუტი ღიაა ოლიმპიადაზე რეგისტრაციისთვის…

დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი

PFC-ის შესახებ მეტი ასახსნელად, მოდით გამოვიყენოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

თავისი სახლიდან ზოოპარკში წასასვლელად ჯულიოს სჭირდება ავტობუსით მგზავრობა, რომელიც მას სადგურამდე მიჰყავს, ხოლო სადგურზე სხვა ავტობუსით.

დავუშვათ, რომ არსებობს სამი ავტობუსის ხაზი, რომელიც მიგიყვანთ სადგურამდე, ხაზები A1, A2 და A3, და რომ არის ორი ხაზი, რომელიც მიგიყვანთ სადგურიდან ზოოპარკამდე, ხაზები B1 და B2. ქვემოთ მოცემული დიაგრამა ასახავს ამ სიტუაციას:

კომბინატორული ანალიზი

რაც შეიძლება მეტი გზით ჯულიოს შეუძლია თავისი სახლიდან ზოოპარკში წასვლა, ხელმისაწვდომი ავტობუსის ხაზების გაერთიანებით.

ილუსტრაციიდან ვხედავთ, რომ სულ არის 6 შესაძლებლობა. თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია აღმოვაჩინოთ ეს შედეგი ილუსტრაციის გარეშეც.

PFC-ით, ჩვენ ვამრავლებთ შესაძლო ხაზების რაოდენობას ბილიკის პირველ ნაწილში მეორე ნაწილში შესაძლო ხაზების რაოდენობაზე:

  • სახლიდან სადგურამდე: ხაზები A1, A2 და A3 → 3 სხვადასხვა გზები;
  • სადგურიდან ზოოპარკამდე: ხაზები B1 და B2 → 2 სხვადასხვა გზები;
\dpi{120} \boldsymbol{3 \ჯერ 2 6}

მაგალითი 2

რესტორანში მომხმარებელს შეუძლია აირჩიოს 4 ვარიანტი დასაწყისისთვის, 5 ვარიანტი ძირითადი კერძისთვის და 3 ვარიანტი დესერტისთვის. რამდენი შესაძლო გზით შეუძლია მომხმარებელს აირჩიოს ამ რესტორანში სტარტერის, მთავარი კერძი და დესერტი?

  • Აკრძალული: 4 პარამეტრები;
  • ძირითადი კურსი: 5პარამეტრები;
  • Დესერტი: 3 პარამეტრები.

PFC-ით, უბრალოდ გაამრავლეთ ეს სამი რაოდენობა:\dpi{120} \boldsymbol{4 \ჯერ 5 \ჯერ 3 60}

აქედან გამომდინარე, არსებობს 60 შესაძლო კომბინაცია, რომლიდანაც მომხმარებელს შეუძლია აირჩიოს ამ რესტორანში სტარტერით, მთავარი კერძი და დესერტი.

მაგალითი 3

რამდენი განსხვავებული სიტყვის ჩამოყალიბება შეიძლება სიტყვა SCHOOL-ში ასოების თანმიმდევრობის შეცვლით?

ნახეთ, რომ სიტყვა სკოლაში ასოები არ მეორდება, ისინი ყველა განსხვავებულია. შემდეგ, ჩამოყალიბებულ სიტყვებში, ასოები არ შეიძლება იყოს განმეორებითი.

სიტყვაში ასოების 6 შესაძლო პოზიციის გათვალისწინებით, გვაქვს:

  • 1 პოზიცია: 6 წერილები ხელმისაწვდომია;
  • მე-2 პოზიცია: 5 წერილები ხელმისაწვდომია;
  • მე-3 პოზიცია: 4 წერილები ხელმისაწვდომია;
  • მე-4 პოზიცია: 3 წერილები ხელმისაწვდომია;
  • მე-5 პოზიცია: 2 წერილები ხელმისაწვდომია;
  • მე-6 პოზიცია: 1 წერილი ხელმისაწვდომია.

PFC-ით, უბრალოდ გაამრავლეთ ეს რაოდენობები:

\dpi{120} \boldsymbol{6 \ჯერ 5 \ჯერ 4 \ჯერ 3 \ჯერ 2 \ჯერ 1 720}

ნახეთ, რამდენად მნიშვნელოვანია PFC! ამის გარეშე ჩვენ მოგვიწევდა ყველა შესაძლო სიტყვის ჩაწერა და შემდეგ მათი დათვლა 720 რიცხვამდე მისასვლელად.

სხვისი ასოებიდან წარმოქმნილ სიტყვებს უწოდებენ ანაგრამები.

ალბათობა

PFC-ს ბევრი გამოყენება აქვს პრობლემებში ალბათობა. პრინციპი გამოიყენება ექსპერიმენტში შესაძლო მოვლენების რაოდენობის დასადგენად.

მაგალითი:

ზედიზედ სამჯერ ყრიან კვერს და ამოწმებენ მიღებულ სახეს. რა არის იმის ალბათობა, რომ პირველ გადაგდებაზე ლუწი სახე იყოს, მეორე გადაგდებისას კენტი და მესამე გადაგდებისას 4-ზე მეტი სახე?

ხელსაყრელი შემთხვევები:

  • პირველი გაშვება: 3 შესაძლებლობები (სახეები 2, 4 და 6);
  • მე-2 გამოშვება: 3 შესაძლებლობები (სახეები 1, 3 და 5);
  • მე-3 გაშვება: 2 შესაძლებლობები (სახე 5 და 6).

PFC-ით, ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობის მისაღებად, უბრალოდ გაამრავლეთ რაოდენობები:

\dpi{120} \boldsymbol{3 \ჯერ 3 \ჯერ 2 18}

შესაძლო შემთხვევები:

  • პირველი გაშვება: 6 შესაძლებლობები (სახეები 1, 2, 3, 4, 5 და 6);
  • მე-2 გამოშვება: 6 შესაძლებლობები (სახეები 1, 2, 3, 4, 5 და 6);
  • მე-3 გაშვება: 6 შესაძლებლობები (სახეები 1, 2, 3, 4, 5 და 6).

PFC-ით, ჩვენ ასევე შეგვიძლია მივიღოთ შესაძლო შემთხვევების რაოდენობა:

\dpi{120} \boldsymbol{6 \ჯერ 6\ჯერ 6 216}

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ სასურველი ალბათობა:

\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{სულ \, of \, შემთხვევები\, \acute{a}შესაძლებელია}{სულ \, of\, შესაძლო \ შემთხვევები} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \დაახლოებით 0.083}

მაშასადამე, შანსი იმისა, რომ მას გამოუჩნდა ლუწი სახე პირველ სროლაზე, კენტი მეორე გადაგდებისას და 4-ზე მეტი სახე მესამე გადაგდებაზე არის ერთი თორმეტიდან, რაც უდრის დაახლოებით 0,083 ან 8,3%.

კომბინატორული ანალიზი

PFC-დან მიიღება ელემენტების დათვლის სხვა ტექნიკა: პერმუტაცია, განლაგება და კომბინაცია.

პერმუტაცია

საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ შესაძლებლობების რაოდენობა სულ n ელემენტის ორგანიზებისთვის, ელემენტების პოზიციების შეცვლით ერთმანეთთან.

\dpi{120} P_n n!

მოწყობა

საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ n ელემენტის ორგანიზების შესაძლებლობების რაოდენობა p ზომის ჯგუფებში, როდესაც ელემენტების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია თითოეულ ჯგუფში.

\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}

კომბინაცია

ის საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ n ელემენტის ორგანიზების შესაძლებლობების რაოდენობა p ზომის ჯგუფებში, ელემენტების თანმიმდევრობით. არა მნიშვნელოვანია თითოეულ ჯგუფში.

\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}

თქვენ ასევე შეიძლება დაგაინტერესოთ:

  • პირობითი ალბათობა
  • სტატისტიკა
  • მონაცემთა დაჯგუფება დიაპაზონებად
  • დისპერსიული ზომები
  • საშუალო, რეჟიმი და მედიანა
1 წელიმე 5 კურსილიტერატურაპორტუგალიური ენაგონების რუქა სოკოებიგონების რუქა ცილებიᲛათემატიკადედის Iiმატერიაგარემოშრომის ბაზარიმითოლოგია6 წელიფორმებიშობაახალი ამბებიახალი ამბები Enemრიცხვითისიტყვები გპარლენდასიაფრიკის გაზიარებამოაზროვნეებიგაკვეთილის გეგმებიმე 6 კურსიპოლიტიკაპორტუგალიურიბოლო შეტყობინებები წინა შეტყობინებებიგაზაფხულიᲞირველი მსოფლიო ომიმთავარი