Dvigubo lanko trigonometrinės funkcijos

Tiriant trigonometrinės funkcijos, dažnai kyla problemų dvigubos arkos. Todėl, žinant konkrečias formules sinusas, kosinusas tai yra liestinė Šio tipo lankas yra esminis supaprastinant daugelį skaičiavimų.

Apsvarstykite bet kurį matavimo lanką $\dpi{120} \alpha$ , dvigubas lankas yra matavimo lankas $\dpi{120} 2\alpha$ . Tokiu būdu norime gauti sinuso formules $\dpi{120} 2\alpha$ , kosinusas iš $\dpi{120} 2\alpha$ ir tangentas $\dpi{120} 2\alpha$ .

Žiūrėti daugiau

Studentai iš Rio de Žaneiro olimpinėse žaidynėse varžysis dėl medalių…

Matematikos institutas gali registruotis į olimpines žaidynes…

Šias formules galima gauti iš dviejų lankų sudėjimo formulės:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Prisiminkite šių formulių naudojimą pavyzdyje, kur gauname 75° sinusą iš sinuso ir kosinuso nuostabūs kampai 30° ir 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Dabar pažiūrėkime, kaip formulės dvigubo lanko trigonometrinės funkcijos.

Dvigubo lanko trigonometrinės funkcijos

Duotas matavimo lankas $\dpi{120} \alpha$ , dvigubas lankas yra matavimo lankas $\dpi{120} 2\alpha$ . Nuo $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , galime naudoti dviejų lankų pridėjimo formules, kad gautume dvigubo lanko formules.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Todėl, dvigubo lanko sinusas gaunamas pagal šią formulę:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Dabar pažiūrėkite, kad:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} – sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Todėl, dvigubo lanko kosinusas gaunamas pagal šią formulę:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} – sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Kalbant apie liestinę, turime:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$