Dubultloka trigonometriskās funkcijas

Pētījumā par trigonometriskās funkcijas, bieži rodas problēmas, kas saistītas dubultās arkas. Tāpēc, zinot konkrētās formulas sinusa, kosinuss Tas ir pieskares šis loka veids ir būtisks daudzu aprēķinu vienkāršošanā.

Apsveriet jebkuru mēra loku $\dpi{120} \alpha$ , dubultā loka ir mēra loka $\dpi{120} 2\alpha$ . Tādā veidā mēs vēlamies iegūt sinusa formulas no $\dpi{120} 2\alpha$ , kosinuss no $\dpi{120} 2\alpha$ un tangensa no $\dpi{120} 2\alpha$ .

redzēt vairāk

Studenti no Riodežaneiro cīnīsies par medaļām olimpiskajās spēlēs…

Matemātikas institūts ir atvērts reģistrācijai olimpiādei…

Šīs formulas var iegūt no divu loku saskaitīšanas formulas:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Atcerieties šo formulu izmantošanu no piemēra, kur mēs iegūstam sinusu 75° no sinusa un kosinusa izcili leņķi 30° un 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4}}$

$\dpi{120} 0,96$

Tagad apskatīsim, kā tiek izmantotas formulas dubultloka trigonometriskās funkcijas.

Dubultloku trigonometriskās funkcijas

Dota mēra loka $\dpi{120} \alpha$ , dubultā loka ir mēra loka $\dpi{120} 2\alpha$ . Kopš $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , mēs varam izmantot formulas divu loku pievienošanai, lai iegūtu dubultā loka formulas.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Tāpēc, dubultloka sinusa tiek iegūts pēc šādas formulas:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Tagad skatieties:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} — sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Tāpēc, dubultloka kosinuss tiek iegūts pēc šādas formulas:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} — sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Attiecībā uz tangensu mums ir:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 — iedegums\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$