Hvordan finne GCD for polynomer

O største felles deler(MDC) mellom to eller flere hele tall tilsvarer den største deler felles som finnes mellom dem. Imellom polynomer, MDC har samme idé.

For å forstå hvordan man beregner GCD mellom polynomer, er det derfor viktig å vite hvordan man beregner GCD for heltall.

På en praktisk måte kan MDC fås som et produkt av primære faktorer felles som finnes mellom tallene.

Eksempel: Beregn GCD mellom 16 og 24.

Dekomponering til primfaktorer:

GCD mellom 16 og 24 er produktet av faktorene som er felles for de to tallene, dvs.

GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.

La oss nå se hvordan finne GCD av polynomer. Vi starter med det enkleste tilfellet, med polynomer dannet av et enkelt ledd: den monomer.

GCD av monomialer

La oss se noen eksempler på hvordan man beregner GCD mellom to eller flere monomialer.

Eksempel 1: MDC mellom 6x og 15x.

Ved å dekomponere til primfaktorer har vi:

6 = 2. 3 og 15 = 3. 5

Derfor kan vi skrive hver av monomialene som følger:

6x = 2. 3. x

15x = 3. 5. x

Derfor er MDC 3x.

Eksempel 2: MDC mellom 18x²y og 30xy.

Ved å dekomponere til primfaktorer har vi:

18 = 2. 3. 3 og 30 = 2. 3. 5

Derfor kan vi skrive hver av monomialene som følger:

18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y

30xy = 2. 3. 5. x. y 

2. 3. x. y = 6x

Så, MDC er 6xy.

GCD av polynomer

For å finne GCD for polynomer, sjekker vi først om det er mulig å faktorisere hver av dem. Til dette bruker vi teknikker for polynom faktorisering.

Eksempel 1: GCD mellom (x² – y²) og (2x – 2y).

Merk at det første polynomet tilsvarer en forskjell på to kvadrater. Så vi kan faktorisere det som følger:

x² – y² = (x – y).(x + y)

Allerede i det andre polynomet kan vi skrive fellesfaktoren 2 som bevis:

2x – 2y = 2.(x – y)

På denne måten har vi:

x² – y² = (x - y).(x + y)

2x – 2y = 2.(x - y)

Så GCD mellom polynomene er (x - y).

Eksempel 2: GCD mellom (x³ + 27) og (x² + 6x + 9).

Det første polynomet tilsvarer en sum mellom to kuber, se:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

Og det andre polynomet, kvadrert til summen av to ledd:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Så vi må:

x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)

Derfor er GCD mellom polynomene (x + 3).

Eksempel 3: GCD mellom (2x² – 32) og (x³ + 12x² + 48x + 64).

Her er det første polynomet en forskjell mellom to kvadrater:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

I mellomtiden er det andre polynomet kuben av summen av to ledd:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Så vi må:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Derfor er GCD mellom polynomene (x + 4).

Forskjellen mellom MMC og MDC

Forvirring mellom begrepene MDC og MMC (minste felles multiplum). Mens GCD tilsvarer den høyeste felles divisor, er MMC gitt av det laveste felles multiplum.

MMC er et veldig nyttig verktøy for å løse brøklikninger fordi generelt sett er nevnerne til brøker de er ikke like.

I disse situasjonene er det vi gjør å trekke ut MMC mellom nevnerne og derfra skrive ekvivalente fraksjoner av samme nevner.

Men nevnere er ikke alltid kjente tall, de kan være algebraiske uttrykk eller polynomer. Derfor er det vanlig å måtte beregne polynom MMC.

På dette tidspunktet er det viktig å ikke forvirre og ønske finn GCD for ligningen, når det som må beregnes er ligningens MMC.

Du kan også være interessert:

• Øvelser på ekvivalente brøker
• Hvordan legge til og trekke fra brøker
• Praktisk metode for å løse 1. grads ligninger
• Delbarhetskriterier