Grunnleggende prinsipp for telling

grunnleggende prinsipp for telling (PFC) er en av talltellingsmetodene kombinatorisk analyse. Dette prinsippet lar oss beregne antall mulige kombinasjoner med elementer som kan oppnås på forskjellige måter.

PFC er en enkel, men veldig nyttig metode, som er mye brukt i sannsynlighetsproblemer, for å bestemme antall mulige hendelser.

grunnleggende prinsipp for telling

For å forklare mer om PFC, la oss bruke noen eksempler.

Eksempel 1

For å gå fra huset til dyrehagen må Júlio ta en buss som tar ham til stasjonen, og på stasjonen må han ta en annen buss.

Anta at det er tre busslinjer som tar deg til stasjonen, linjene A1, A2 og A3, og at det er to linjer som tar deg fra stasjonen til dyrehagen, linjene B1 og B2. Diagrammet nedenfor illustrerer denne situasjonen:

På så mange måter som mulig kan Júlio gå fra huset til dyrehagen ved å kombinere de tilgjengelige busslinjene.

Fra illustrasjonen kan vi se at det er 6 muligheter totalt. Imidlertid kan vi oppdage dette resultatet selv uten illustrasjonen.

Ved PFC multipliserer vi antall mulige linjer i den første delen av banen med antall mulige linjer i den andre delen:

• Hjemmefra til stasjonen: Linje A1, A2 og A3 → 3 forskjellige måter;
• Fra stasjonen til dyrehagen: Linje B1 og B2 → 2 forskjellige måter;

Eksempel 2

I en restaurant kan kunden velge mellom 4 alternativer til forrett, 5 alternativer til hovedrett og 3 alternativer til dessert. På hvor mange mulige måter kan en kunde velge en forrett, hovedrett og dessert på denne restauranten?

• Forbudt: 4 alternativer;
• Hovedrett: 5alternativer;
• Dessert: 3 alternativer.

Med PFC, multipliser bare disse tre mengdene:

Derfor er det 60 mulige kombinasjoner som kunden kan velge mellom, med en forrett, en hovedrett og en dessert i denne restauranten.

Eksempel 3

Hvor mange forskjellige ord kan dannes ved å endre rekkefølgen på bokstavene i ordet SKOLE?

Se at bokstavene i ordet skole ikke gjentas, de er alle forskjellige. Da kan det heller ikke være gjentatte bokstaver i de dannede ordene.

Med tanke på de 6 mulige plasseringene for bokstavene i ordet, har vi:

• 1. plassering: 6 bokstaver tilgjengelig;
• 2. plassering: 5 bokstaver tilgjengelig;
• 3. plassering: 4 bokstaver tilgjengelig;
• 4. plassering: 3 bokstaver tilgjengelig;
• 5. plass: 2 bokstaver tilgjengelig;
• 6. plass: 1 brev tilgjengelig.

Med PFC, multipliser bare disse mengdene:

Se hvor viktig PFC er! Uten den måtte vi skrive ned alle mulige ord og deretter telle dem for å komme frem til tallet 720.

Ord dannet av bokstavene til en annen kalles anagrammer.

Sannsynlighet

PFC har mye bruk i problemene med sannsynlighet. Prinsippet brukes til å bestemme antall mulige hendelser i et eksperiment.

Eksempel:

En terning kastes tre ganger på rad og det oppnådde ansiktet kontrolleres. Hva er sannsynligheten for at det er et partall på første kastet, et oddetall på andre kast og en flate større enn 4 på tredje kast?

Gunstige tilfeller:

• 1. lansering: 3 muligheter (ansikt 2, 4 og 6);
• 2. utgivelse: 3 muligheter (ansikt 1, 3 og 5);
• 3. lansering: 2 muligheter (ansikt 5 og 6).

Med PFC, for å få antall gunstige tilfeller, multipliser bare mengdene:

Mulige tilfeller:

• 1. lansering: 6 muligheter (ansikt 1, 2, 3, 4, 5 og 6);
• 2. utgivelse: 6 muligheter (ansikt 1, 2, 3, 4, 5 og 6);
• 3. lansering: 6 muligheter (ansikt 1, 2, 3, 4, 5 og 6).

Ved PFC kan vi også få tak i antall mulige tilfeller:

Dermed kan vi beregne ønsket sannsynlighet:

Derfor er sjansen for at den kom opp med et jevnt ansikt på første kast, et oddetall på andre kast og en flate større enn 4 på det tredje kastet er én av tolv, som tilsvarer omtrent 0,083 eller 8,3%.

Kombinatorisk analyse

Fra PFC oppnås andre teknikker for å telle elementer: permutasjon, arrangement og kombinasjon.

Permutasjon

Lar deg beregne antall muligheter for å organisere totalt n elementer, og endre plasseringen av elementene seg imellom.

Ordning

Den gjør det mulig å beregne antall muligheter for å organisere n elementer i grupper av størrelse p, når rekkefølgen på elementene er viktig innenfor hver gruppe.

Kombinasjon

Det gjør det mulig å beregne antall muligheter for å organisere n elementer i grupper av størrelse p, når rekkefølgen av elementene Nei er viktig i hver gruppe.

Du kan også være interessert:

• betinget sannsynlighet
• Statistikk
• Gruppering av data i områder
• Spredningstiltak
• Gjennomsnitt, modus og median