Tegn på en 2. grads ligning

En 2. grads funksjon er en hvilken som helst funksjon av formen f(x) = ax² + bx + c = 0, med De, B Det er w være reelle tall og De forskjellig fra null.

studere tegn på 2. grads funksjon betyr å si for hvilke verdier x funksjonen er positiv, negativ eller lik null.

se mer

Studenter fra Rio de Janeiro skal konkurrere om medaljer ved OL...

Matematikkinstituttet er åpent for påmelding til OL...

På denne måten må vi identifisere hva som er verdiene til x der vi har:

f (x) > 0 → positiv funksjon

f (x) < 0 → negativ funksjon

f (x) = 0 → nullfunksjon

Men hvordan kan vi vite dette? En av måtene å studere tegnet til en 2. grads funksjon er gjennom grafen, som er en lignelse.

Tegn på en 2. grads funksjon fra grafen

På kartesisk fly, f (x) > 0 tilsvarer den delen av parabelen som er over x-aksen, f (x) = 0 den delen av parabelen som skjærer x-aksen og f (x) < 0, delen av parablen som er under x-aksen.

Så vi trenger bare å skissere parabelen for å identifisere tegnene på funksjonen. Skissen er laget ganske enkelt ved å vite hva

konkavitet av parabelen og om den skjærer x-aksen eller ikke, og hvis den gjør det, på hvilke punkter den gjør det.

Vi kan ha seks forskjellige saker.

Tilfelle 1) Tegn på en 2. grads funksjon med to røtter $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinkt og konkavitet av parabelen vendt oppover.

Fra grafen kan vi identifisere at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: eller\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: eller \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{Hvit} 0000} \end{matrise}\right.$

Tilfelle 2) Tegn på en 2. grads funksjon med to røtter $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinkt og konkavitet av parabelen vendt nedover.

Fra grafen kan vi identifisere at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: eller \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: eller \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrise}\right.$

Tilfelle 3) Tegn på en 2. grads funksjon med to røtter $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ lik og konkavitet av parabelen vendt oppover.

Fra grafen kan vi identifisere at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrise} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrise}\right.$

Tilfelle 4) Tegn på en 2. grads funksjon med to røtter $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ lik og konkavitet av parabelen vendt nedover.

Fra grafen kan vi identifisere at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrise} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrise}\right.$

Tilfelle 5) Tegn på en funksjon av 2. grad uten reelle røtter og parabel konkav oppover. Tegn på en 2. grads funksjon

I dette tilfellet har vi f (x) > 0 for alle x som tilhører realene.

Tilfelle 6) Tegn på en funksjon av 2. grad uten reelle røtter og konkavitet av parablen vendt nedover.

I dette tilfellet har vi f (x) < 0 for alle x som tilhører realene.

Hvordan sjekke konkaviteten til parablen

Konkaviteten til parablen kan bestemmes av verdien av koeffisienten De av funksjonen til 2. grad.

Hvis a > 0, så er parablen konkav oppover;
Hvis a < 0, er parablen konkav nedover.

Hvordan sjekke om parabelen skjærer x-aksen

Å sjekke om parablen skjærer x-aksen eller ikke betyr å bestemme om funksjonen har røtter eller ikke, og i så fall hva de er. Vi kan bestemme dette ved å beregne diskriminerende: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, funksjonen har to forskjellige reelle røtter, og parabelen skjærer x-aksen i to forskjellige punkter.
hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, funksjonen har to like reelle røtter, parabelen skjærer x-aksen i et enkelt punkt.
hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, funksjonen har ingen reelle røtter og parabelen skjærer ikke x-aksen, er helt over av x-aksen hvis den er konkav oppover og helt under x-aksen hvis den er konkav nedover lav.