Podstawowa zasada liczenia

click fraud protection

podstawowa zasada liczenia (PFC) jest jedną z metod liczenia liczb analiza kombinatoryczna. Ta zasada pozwala nam obliczyć liczbę możliwych kombinacji z elementami, które można uzyskać na różne sposoby.

PFC jest prostą, ale bardzo użyteczną metodą, szeroko stosowaną w problemach prawdopodobieństwa, do określania liczby możliwych zdarzeń.

Zobacz więcej

Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…

Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…

podstawowa zasada liczenia

Aby wyjaśnić więcej o PFC, użyjmy kilku przykładów.

Przykład 1

Aby dostać się z domu do zoo, Júlio musi wsiąść do autobusu, który zabierze go na dworzec, a na dworcu musi wsiąść do innego autobusu.

Załóżmy, że są trzy linie autobusowe, które zabiorą cię na dworzec, linie A1, A2 i A3, oraz dwie linie, które zabiorą cię ze stacji do zoo, linie B1 i B2. Poniższy diagram ilustruje tę sytuację:

Na tyle sposobów, na ile to możliwe, Júlio może przejść ze swojego domu do zoo, łącząc dostępne linie autobusowe.

instagram story viewer

Z ilustracji widać, że w sumie jest 6 możliwości. Jednak możemy odkryć ten wynik nawet bez ilustracji.

Przez PFC mnożymy liczbę możliwych linii w pierwszej części ścieżki przez liczbę możliwych linii w drugiej części:

Z domu do dworca: linie A1, A2 i A3 → 3 różne sposoby;
Z dworca do zoo: linie B1 i B2 → 2 różne sposoby;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Przykład 2

W restauracji klient ma do wyboru 4 opcje przystawek, 5 opcji dania głównego i 3 opcje deseru. Na ile sposobów klient może wybrać przystawkę, danie główne i deser w tej restauracji?

Zabroniony: 4 opcje;
Danie główne: 5opcje;
Deser: 3 opcje.

Przez PFC wystarczy pomnożyć te trzy wielkości: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Dlatego w tej restauracji klient ma do wyboru 60 możliwych kombinacji, z przystawką, daniem głównym i deserem.

Przykład 3

Ile różnych słów można utworzyć zmieniając kolejność liter w słowie SZKOŁA?

Dopilnuj, aby litery słowa szkoła nie powtarzały się, wszystkie są różne. Wtedy w utworzonych słowach nie może być też powtarzających się liter.

Biorąc pod uwagę 6 możliwych pozycji liter w słowie, mamy:

1. miejsce: 6 dostępne litery;
2. miejsce: 5 dostępne litery;
3 miejsce: 4 dostępne litery;
4. miejsce: 3 dostępne litery;
5 miejsce: 2 dostępne litery;
6. miejsce: 1 dostępne pismo.

Przez PFC wystarczy pomnożyć te ilości:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Zobacz, jak ważny jest PFC! Bez niego musielibyśmy zapisać wszystkie możliwe słowa, a następnie je policzyć, aby dojść do liczby 720.

Nazywa się słowa utworzone z liter innego anagramy.

Prawdopodobieństwo

PFC ma wiele zastosowań w problemach prawdopodobieństwo. Zasada służy do określenia liczby możliwych zdarzeń w eksperymencie.

Przykład:

Rzucamy kostką trzy razy pod rząd i sprawdzamy otrzymaną ścianę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie jest parzysta ściana, w drugim rzucie nieparzysta, a w trzecim rzucie ściana większa niż 4?

Korzystne przypadki:

1. uruchomienie: 3 możliwości (ściany 2, 4 i 6);
2. uruchomienie: 3 możliwości (ściany 1, 3 i 5);
3. uruchomienie: 2 możliwości (ściana 5 i 6).

Przez PFC, aby uzyskać liczbę korzystnych przypadków, wystarczy pomnożyć ilości:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Możliwe przypadki:

1. uruchomienie: 6 możliwości (ściany 1, 2, 3, 4, 5 i 6);
2. uruchomienie: 6 możliwości (ściany 1, 2, 3, 4, 5 i 6);
3. uruchomienie: 6 możliwości (ściany 1, 2, 3, 4, 5 i 6).

Dzięki PFC możemy również uzyskać liczbę możliwych przypadków:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

W ten sposób możemy obliczyć pożądane prawdopodobieństwo:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Razem \, z \, przypadków\, \acute{a}able}{Razem \, z\, możliwych \ przypadków} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \około 0,083}$

Dlatego szansa, że przy pierwszym rzucie wypadła parzysta ściana, a przy drugim rzucie nieparzysta a twarz większa niż 4 w trzecim rzucie to jedna na dwanaście, co odpowiada w przybliżeniu 0,083 lub 8,3%.