O Największy wspólny dzielnik(MDC) między dwoma lub więcej wszystkie liczby odpowiada największemu rozdzielacz wspólne, które istnieje między nimi. Pomiędzy wielomianyMDC ma ten sam pomysł.
Dlatego, aby zrozumieć, jak obliczyć NWD między wielomianami, ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć NWD liczb całkowitych.
Zobacz więcej
Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…
Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…
W praktyczny sposób MDC można otrzymać jako iloczyn czynniki pierwsze wspólne, które istnieją między liczbami.
Przykład: Oblicz NWD między 16 a 24.
Rozkład na czynniki pierwsze:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
NWD między 16 a 24 jest iloczynem czynników wspólnych dla tych dwóch liczb, to znaczy
NWD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Teraz zobaczmy jak znaleźć NWD wielomianów. Zaczniemy od najprostszego przypadku, z wielomianami utworzonymi przez jeden wyraz: the jednomiany.
Zobaczmy kilka przykładów, jak obliczyć NWD między dwoma lub więcej jednomianami.
Przykład 1: MDC między 6x a 15x.
Rozkładając na czynniki pierwsze mamy:
6 = 2. 3 i 15 = 3. 5
Dlatego możemy zapisać każdy z jednomianów w następujący sposób:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Dlatego MDC jest 3x.
Przykład 2: MDC między 18x²y a 30xy.
Rozkładając na czynniki pierwsze mamy:
18 = 2. 3. 3 i 30 = 2. 3. 5
Dlatego możemy zapisać każdy z jednomianów w następujący sposób:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. y
30xy = 2. 3. 5. X. y
2. 3. X. y = 6x
Więc MDC jest 6xy.
Aby znaleźć NWD wielomianów, najpierw sprawdzamy, czy każdy z nich można rozłożyć na czynniki. W tym celu stosujemy techniki faktoryzacja wielomianu.
Przykład 1: NWD między (x² – y²) a (2x – 2y).
Zauważ, że pierwszy wielomian odpowiada różnicy dwóch kwadratów. Możemy więc rozłożyć to w następujący sposób:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Już w drugim wielomianie możemy zapisać wspólny czynnik, 2, w dowodzie:
2x – 2y = 2.(x – y)
W ten sposób mamy:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Zatem NWD między wielomianami wynosi (x - y).
Przykład 2: NWD między (x³ + 27) a (x² + 6x + 9).
Pierwszy wielomian odpowiada sumie między dwoma sześcianami, patrz:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
I drugi wielomian podniesiony do kwadratu do sumy dwóch wyrazów:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Musimy więc:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Dlatego NWD między wielomianami wynosi (x + 3).
Przykład 3: NWD między (2x² – 32) a (x³ + 12x² + 48x + 64).
Tutaj pierwszy wielomian jest różnicą między dwoma kwadratami:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Tymczasem drugi wielomian jest sześcianem sumy dwóch wyrazów:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Musimy więc:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Dlatego NWD między wielomianami wynosi (x + 4).
Pomieszanie pojęć MDC i MMC (najmniejsza wspólna wielokrotność). Jednakże, podczas gdy GCD odpowiada najwyższemu wspólnemu dzielnikowi, MMC jest podane przez najniższą wspólną wielokrotność.
MMC jest bardzo przydatnym narzędziem w rozwiązywaniu równań ułamkowych, ponieważ w ogólności mianowniki ułamki nie są takie same.
W takich sytuacjach wyodrębniamy MMC między mianownikami i stamtąd zapisujemy równoważne ułamki o tym samym mianowniku.
Jednak mianowniki nie zawsze są znanymi liczbami, mogą to być wyrażenia algebraiczne lub wielomiany. Dlatego często trzeba obliczyć wielomian MMC.
W tej chwili ważne jest, aby nie mylić i nie chcieć znajdź NWD równania, kiedy należy obliczyć MMC równania.
Możesz być także zainteresowany: