Funkcje trygonometryczne z podwójnym łukiem

w badaniu funkcje trygonometryczne, często występują problemy z udziałem podwójne łuki. Dlatego znając konkretne formuły sinus, cosinus To jest tangens ten typ łuku ma fundamentalne znaczenie dla uproszczenia wielu obliczeń.

Rozważ dowolny łuk miary $\dpi{120} \alfa$ , podwójny łuk jest łukiem miary $\dpi{120} 2\alfa$ . W ten sposób chcemy otrzymać formuły sinusów $\dpi{120} 2\alfa$ , cosinus $\dpi{120} 2\alfa$ i styczna do $\dpi{120} 2\alfa$ .

Zobacz więcej

Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…

Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…

Formuły te można uzyskać z wzory na dodawanie dwóch łuków:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Zapamiętaj użycie tych wzorów z przykładu, w którym otrzymujemy sinus 75° z sinusa i cosinusa niezwykłe kąty 30° i 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Zobaczmy teraz, jak działają formuły Funkcje trygonometryczne z podwójnym łukiem.

Funkcje trygonometryczne łuków podwójnych

Biorąc pod uwagę łuk miary $\dpi{120} \alfa$ , podwójny łuk jest łukiem miary $\dpi{120} 2\alfa$ . Od $\dpi{120} 2\alfa \alfa + \alfa$ , możemy użyć wzorów na dodanie dwóch łuków, aby uzyskać wzory na podwójny łuk.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Dlatego też podwójny łuk sinusoidalny otrzymuje się według następującego wzoru:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Teraz zobacz to:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Dlatego też cosinus podwójnego łuku otrzymuje się według następującego wzoru:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Jeśli chodzi o styczną, mamy:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$