Kostka sumy i kostka różnicy są dwa rodzaje godne uwagi produkty, gdzie dwa wyrazy są dodawane lub odejmowane, a następnie dzielone na sześciany, czyli z wykładnikiem równym 3.
(x + y) ³ -> sześcian sumy
Zobacz więcej
Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…
Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…
(x – y) ³ -> sześcian różnicy
Sześcian sumy można również zapisać jako (x+y). (x+y). (x + y) a sześcian różnicy jako (x – y). (x – y). (x - y).
Produkty te otrzymują nazwę godnych uwagi produktów ze względu na ich znaczenie, ponieważ często pojawiają się w obliczeniach algebraicznych.
Teraz pamiętaj, że w matematyce to samo wyrażenie można zapisać w inny sposób, ale bez zmiany jego wartości. Na przykład x + 1 + 1 można zapisać po prostu jako x + 2.
Często przepisując wyrażenie, możemy uprościć i rozwiązać wiele problemów algebraicznych. Dlatego zobaczmy inny sposób zapisywania sześcianu sumy i sześcianu różnicy, rozwijając je algebraicznie.
O sześcian sumy jest niezwykłym produktem (x + y) ³, który jest taki sam jak (x + y). (x+y). (x+y). W ten sposób możemy napisać:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Teraz, biorąc to pod uwagę (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², sześcian sumy można zapisać jako:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Mnożenie wielomianu (x + y) przez (x² + 2xy + y²), widzimy, że:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Dodając wyrazy podobne, otrzymujemy, że sześcian sumy jest określony wzorem:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Przykład:
Rozwiń każdą kostkę algebraicznie:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O sześcian różnicy jest iloczynem godnym uwagi (x – y) ³, który jest taki sam jak (x – y). (x – y). (x – y). Musimy więc:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Jak (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², sześcian różnicy można zapisać jako:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Mnożąc (x – y) przez (x² – 2xy + y²), widzimy, że:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Dodając wyrazy podobne, otrzymujemy, że sześcian różnicy jest określony wzorem:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Przykład:
Rozwiń każdą kostkę algebraicznie:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Możesz być także zainteresowany:
