O cel mai mare divizor comun(MDC) între două sau mai multe numere întregi corespunde celui mai mare separator comun care există între ei. Intre polinomiale, MDC are aceeași idee.
Astfel, pentru a înțelege cum se calculează GCD-ul între polinoame, este important să știi cum să se calculeze GCD-ul numerelor întregi.
Vezi mai mult
Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...
Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...
Într-un mod practic, MDC poate fi obținut ca produs al factori primi comune care există între numere.
Exemplu: Calculați GCD între 16 și 24.
Descompunerea în factori primi:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
MCD între 16 și 24 este produsul factorilor comuni celor două numere, adică
GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Acum să vedem cum să găsiți GCD de polinoame. Vom începe cu cel mai simplu caz, cu polinoame formate dintr-un singur termen: the monomii.
Să vedem câteva exemple despre cum să calculăm GCD între două sau mai multe monomii.
Exemplul 1: MDC între 6x și 15x.
Descompunând în factori primi, avem:
6 = 2. 3 și 15 = 3. 5
Prin urmare, putem scrie fiecare dintre monomii după cum urmează:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Prin urmare, MDC este 3x.
Exemplul 2: MDC între 18x²y și 30xy.
Descompunând în factori primi, avem:
18 = 2. 3. 3 și 30 = 2. 3. 5
Prin urmare, putem scrie fiecare dintre monomii după cum urmează:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. y
30xy = 2. 3. 5. X. y
2. 3. X. y = 6x
Deci, MDC este 6xy.
Pentru a găsi GCD de polinoame, verificăm mai întâi dacă este posibil să factorăm fiecare dintre ele. Pentru aceasta, folosim tehnici de factorizarea polinomială.
Exemplul 1: GCD între (x² – y²) și (2x – 2y).
Rețineți că primul polinom corespunde unei diferențe de două pătrate. Deci îl putem factoriza după cum urmează:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Deja în al doilea polinom, putem scrie factorul comun, 2, în evidență:
2x – 2y = 2.(x – y)
În acest fel, avem:
x² – y² = (X y).(x + y)
2x – 2y = 2.(X y)
Deci, GCD-ul dintre polinoame este (X y).
Exemplul 2: GCD între (x³ + 27) și (x² + 6x + 9).
Primul polinom corespunde unei sume între două cuburi, vezi:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Și al doilea polinom, la pătrat la suma a doi termeni:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Deci, trebuie să:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Prin urmare, GCD-ul dintre polinoame este (x + 3).
Exemplul 3: GCD între (2x² – 32) și (x³ + 12x² + 48x + 64).
Aici, primul polinom este o diferență între două pătrate:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Între timp, al doilea polinom este cubul sumei a doi termeni:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Deci, trebuie să:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Prin urmare, GCD-ul dintre polinoame este (x + 4).
Confuzia între conceptele MDC și MMC (cel mai mic multiplu comun). Cu toate acestea, în timp ce GCD corespunde celui mai mare divizor comun, MMC este dat de cel mai mic multiplu comun.
MMC este un instrument foarte util în rezolvarea ecuațiilor fracționale deoarece, în general, numitorii lui fractii nu sunt la fel.
În aceste situații, ceea ce facem este să extragem MMC-ul dintre numitori și de acolo să scriem fracții echivalente de același numitor.
Cu toate acestea, numitorii nu sunt întotdeauna numere cunoscute, ele pot fi expresii algebrice sau polinoame. Prin urmare, este obișnuit să fie nevoie să se calculeze polinom MMC.
În acest moment, este important să nu confundați și să doriți găsiți GCD-ul ecuației, când ceea ce trebuie calculat este MMC al ecuației.
Te-ar putea interesa și:
