Funcții trigonometrice cu arc dublu

În studiul lui funcții trigonometrice, există adesea probleme care implică arcade duble. Prin urmare, cunoscând formulele specifice ale sinus, cosinus Este tangentă acest tip de arc este fundamental în simplificarea multor calcule.

Luați în considerare orice arc de măsură $\dpi{120} \alpha$ , arcul dublu este arcul de măsură $\dpi{120} 2\alpha$ . În acest fel, dorim să obținem formule sinus ale $\dpi{120} 2\alpha$ , cosinus de $\dpi{120} 2\alpha$ si tangenta de $\dpi{120} 2\alpha$ .

Vezi mai mult

Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...

Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...

Aceste formule pot fi obținute de la formule de adunare cu două arcuri:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Amintiți-vă utilizarea acestor formule dintr-un exemplu în care obținem sinusul de 75° din sinusul și cosinusul lui unghiuri remarcabile 30° și 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Acum, să vedem cum sunt formulele funcții trigonometrice cu arc dublu.

Funcții trigonometrice ale arcelor duble

Având în vedere un arc de măsură $\dpi{120} \alpha$ , arcul dublu este arcul de măsură $\dpi{120} 2\alpha$ . De cand $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , putem folosi formulele pentru adăugarea a două arce pentru a obține formulele pentru arcul dublu.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

De aceea dublu arc sinus se obtine prin urmatoarea formula:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Acum, vezi că:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

De aceea cosinus cu arc dublu se obtine prin urmatoarea formula:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

În ceea ce privește tangenta, avem:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + bronz\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$