Există câteva tehnici de factorizarea polinomială care ne permit să le scriem ca o multiplicare a două sau mai multe polinoame.
Pentru a învăța cum să evidențiați un termen, faceți grupări, scrieți ca un trinom pătrat perfect și multe alte tipuri de produse notabile, verificați unul lista exercitiilor de facturare rezolvate pe care le-am pregătit.
Vezi mai mult
Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...
Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...
Intrebarea 1. Scriind factorul comun în dovezi, factorizează polinoamele:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Intrebarea 2. Factorizați fiecare dintre polinoame:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Întrebarea 3. Folosind tehnicile de grupare și factor comun în evidență, factorizați următoarele polinoame:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Întrebarea 4. Polinoamele de mai jos arată diferențele dintre două pătrate. Scrieți fiecare dintre ele în formă factorizată.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Întrebarea 5. Factorizați următorul polinom scriind ca o înmulțire:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Întrebarea 6. Verificați dacă fiecare dintre trinoamele de mai jos reprezintă un trinom pătrat perfect, apoi faceți factorizarea.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Întrebarea 7. Completați polinomul de mai jos astfel încât să fie un trinom pătrat perfect.
x² + 4x
Întrebarea 8. Folosind tehnici de factorizare, găsiți rădăcinile ecuațiilor:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
În primul rând, luăm rădăcina pătrată a termenilor pătrați:
√a² = The
√25b² = 5b
Ca 2. The. 5b = 10ab → termenul rămas al trinomului. Deci polinomul este un trinom pătrat perfect.
Să factorizăm: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = X
√25 = 5
2. X. 5 = 10x → nu se potrivește cu termenul rămas care este 8x. Deci polinomul nu este un trinom pătrat perfect.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → termenul rămas al trinomului. Deci polinomul este un trinom pătrat perfect.
Să factorăm: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = al 4-lea
√9b² = 3b
2. al 4-lea. 3b = 24ab → termenul rămas al trinomului. Deci polinomul este un trinom pătrat perfect.
Să factorizăm: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Trebuie să scriem un trinom pătrat perfect după cum urmează: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Deci trebuie să găsim valoarea lui y. Avem:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Astfel, trebuie să adăugăm termenul y² = 2² = 4 la polinom astfel încât acesta să fie un trinom pătrat perfect: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Punerea x în evidență:
x.(x – 9) = 0
Atunci x = 0 sau
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Rădăcini: 0 și 9
b) Avem o diferență între două pătrate:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Adică x + 8 = 0 sau x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Rădăcini: -8 și 8.
c) Punerea y în evidență:
y.(y – 1) = 0
Deci y = 0 sau y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Rădăcini: 0 și 1
d) Reținând că 1 = 1², avem o diferență între două pătrate:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Deci x + 1 = 0 sau x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Rădăcini: – 1 și 1.
Vezi si:
