Semne ale unei ecuații de gradul 2

unu Funcția de gradul II este orice funcție de forma f(x) = ax² + bx + c = 0, cu The, B Este w fiind numere reale şi The diferit de zero.

studiază semne ale unei funcții de gradul 2 înseamnă a spune pentru ce valori X funcția este pozitivă, negativă sau egală cu zero.

Vezi mai mult

Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...

Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...

În acest fel, trebuie să identificăm care sunt valorile lui x unde avem:

f (x) > 0 → funcție pozitivă

f (x) < 0 → funcție negativă

f (x) = 0 → funcție nulă

Dar cum putem ști asta? Una dintre modalitățile de a studia semnul unei funcții de gradul 2 este prin graficul acesteia, care este a parabolă.

Semne ale unei funcții de gradul 2 din grafic

La plan cartezian, f (x) > 0 corespunde părții parabolei care se află deasupra axei x, f (x) = 0 partea parabolei care intersectează axa x și f (x) < 0, partea parabolei adică sub axa x.

Deci trebuie doar să schițăm parabola pentru a identifica semnele funcției. Schița se face pur și simplu știind ce

concavitatea parabolei și dacă intersectează sau nu axa x și, dacă o face, în ce puncte o face.

Putem avea șase cazuri diferite.

Cazul 1) Semne ale unei funcții de gradul 2 cu două rădăcini $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Este $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinctă şi concavitatea parabolei orientată în sus.

Din grafic, putem identifica că:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, dacă\: \mathrm{x x_1} \: sau\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: dacă\: x x_1 \: sau \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: dacă\: x_1 x x_2} {\color{Alb} 0000} \end{matrice}\dreapta.$

Cazul 2) Semne ale unei funcții de gradul 2 cu două rădăcini $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Este $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinctă şi concavitatea parabolei îndreptată în jos.

Din grafic, putem identifica că:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: dacă\: x x_1 \: sau \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, dacă\: \mathrm{x x_1} \: sau \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrice}\dreapta.$

Cazul 3) Semne ale unei funcții de gradul 2 cu două rădăcini $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Este $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ egală și concavitatea parabolei orientată în sus.

Din grafic, putem identifica că:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: dacă\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, dacă\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.$

Cazul 4) Semne ale unei funcții de gradul 2 cu două rădăcini $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ Este $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ egală și concavitatea parabolei îndreptată în jos.

Din grafic, putem identifica că:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: dacă\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, dacă\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.$

Cazul 5) Semne ale unei funcții de gradul 2 fără rădăcini reale și parabolă concave în sus.

În acest caz, avem f (x) > 0 pentru orice x aparținând realelor.

Cazul 6) Semne ale unei funcții de gradul 2 fără rădăcini reale și concavitatea parabolei orientată în jos.

În acest caz, avem f (x) < 0 pentru orice x aparținând realelor.

Cum se verifică concavitatea parabolei

Concavitatea parabolei poate fi determinată de valoarea coeficientului The a funcţiei de gradul II.

Dacă a > 0, atunci parabola este concavă în sus;
Dacă a < 0, atunci parabola este concavă în jos.

Cum se verifică dacă parabola intersectează axa x

Verificarea dacă parabola intersectează sau nu axa x înseamnă a determina dacă funcția are sau nu rădăcini și, dacă da, care sunt acestea. Putem determina acest lucru calculând discriminare: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

dacă $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, funcția are două rădăcini reale diferite, iar parabola intersectează axa x în două puncte diferite.
dacă $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, funcția are două rădăcini reale egale, parabola intersectează axa x într-un singur punct.
dacă $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, funcția nu are rădăcini reale și parabola nu intersectează axa x, fiind complet deasupra a axei x dacă este concavă în sus și complet sub axa x dacă este concavă în jos scăzut.