Sum Cube și Difference Cube sunt două tipuri de produse notabile, unde doi termeni se adună sau se scad și apoi se cubează, adică cu un exponent egal cu 3.
(x + y) ³ -> cub suma
Vezi mai mult
Elevii din Rio de Janeiro vor concura pentru medalii la Jocurile Olimpice...
Institutul de Matematică este deschis pentru înscrieri la Jocurile Olimpice...
(x – y) ³ -> cub de diferență
Cubul sumă poate fi scris și ca (x+y). (x+y). (x + y) iar cubul diferenţei ca (X y). (X y). (X y).
Aceste produse primesc denumirea de produse notabile pentru importanța pe care o au, întrucât apar frecvent în calculele algebrice.
Acum, amintiți-vă că, în matematică, aceeași expresie poate fi scrisă în alt mod, dar fără a-i schimba valoarea. De exemplu, x + 1 + 1 poate fi scris simplu ca x + 2.
Adesea, atunci când rescriem o expresie, putem simplifica și rezolva multe probleme algebrice. Prin urmare, să vedem un alt mod de a scrie cubul sumei și cubul diferenței, dezvoltându-le algebric.
O cub suma este produsul remarcabil (x + y) ³, care este același cu (x + y). (x+y). (x+y). În acest fel, putem scrie:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Acum, având în vedere că (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², cubul sumei poate fi scris ca:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Înmulțirea polinomului (x + y) prin (x² + 2xy + y²), putem vedea că:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Adăugând termeni similari, avem că cubul sumei este dat de:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Exemplu:
Dezvoltați fiecare cub algebric:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O cub de diferență este produsul notabil (x – y) ³, care este același cu (x – y). (X y). (X y). Deci, trebuie să:
(x – y) ³ = (x – y). (X y). (X y)
Ca (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², cubul diferenței poate fi scris astfel:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Înmulțind (x – y) cu (x² – 2xy + y²), putem vedea că:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Adăugând termeni similari, avem că cubul diferenței este dat de:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Exemplu:
Dezvoltați fiecare cub algebric:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Te-ar putea interesa și:
