Osnovno načelo štetja

osnovno načelo štetja (PFC) je ena od metod štetja številk kombinatorna analiza. Ta princip nam omogoča, da izračunamo število možnih kombinacij z elementi, ki jih lahko dobimo na različne načine.

PFC je preprosta, a zelo uporabna metoda, ki se pogosto uporablja pri verjetnostnih problemih pri določanju števila možnih dogodkov.

Poglej več

Dijaki iz Ria de Janeira se bodo na olimpijskih igrah potegovali za medalje...

Inštitut za matematiko je odprt za prijave na olimpijado…

osnovno načelo štetja

Za večjo razlago o PFC uporabimo nekaj primerov.

Primer 1

Za pot od svoje hiše do živalskega vrta mora Júlio vzeti avtobus, ki ga odpelje do postaje, na postaji pa mora vzeti drug avtobus.

Recimo, da obstajajo tri avtobusne linije, ki vas pripeljejo do postaje, linije A1, A2 in A3, in da obstajata dve liniji, ki vas peljeta od postaje do živalskega vrta, liniji B1 in B2. Spodnji diagram prikazuje to situacijo:

Júlio lahko gre od svoje hiše do živalskega vrta na čim več načinov, tako da kombinira razpoložljive avtobusne linije.

Iz ilustracije lahko vidimo, da je skupno 6 možnosti. Vendar lahko ta rezultat ugotovimo tudi brez ilustracije.

S PFC pomnožimo število možnih vrstic v prvem delu poti s številom možnih vrstic v drugem delu:

Od doma do postaje: Linije A1, A2 in A3 → 3 različne poti;
Od postaje do živalskega vrta: Liniji B1 in B2 → 2 različne poti;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Primer 2

V restavraciji lahko gost izbira med 4 možnostmi predjedi, 5 možnostmi glavne jedi in 3 možnostmi sladice. Na koliko možnih načinov lahko stranka izbere predjed, glavno jed in sladico v tej restavraciji?

Prepovedano: 4 opcije;
Glavna jed: 5opcije;
Sladica: 3 opcije.

S PFC samo pomnožite te tri količine: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Zato je v tej restavraciji na voljo 60 možnih kombinacij, med katerimi lahko izbirate med predjedjo, glavno jedjo in sladico.

Primer 3

Koliko različnih besed lahko sestavite s spreminjanjem vrstnega reda črk v besedi ŠOLA?

Pazite, da se črke besede šola ne ponavljajo, vse so različne. Potem tudi v tvorjenih besedah ne more biti ponovljenih črk.

Če upoštevamo 6 možnih položajev za črke v besedi, imamo:

1. položaj: 6 pisma na voljo;
2. mesto: 5 pisma na voljo;
3. mesto: 4 pisma na voljo;
4. mesto: 3 pisma na voljo;
5. mesto: 2 pisma na voljo;
6. mesto: 1 pismo na voljo.

S PFC samo pomnožite te količine:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Poglejte, kako pomemben je PFC! Brez tega bi morali zapisati vse možne besede in jih nato prešteti, da bi prišli do številke 720.

Besede, sestavljene iz črk drugega, se imenujejo anagrami.

Verjetnost

PFC se veliko uporablja pri težavah verjetnost. Načelo se uporablja za določanje števila možnih dogodkov v poskusu.

primer:

Kocka se vrže trikrat zaporedoma in preveri se dobljeni obraz. Kakšna je verjetnost, da je pri prvem metu soda ploskev, pri drugem liha ploskev in pri tretjem metu ploskev večja od 4?

Ugodni primeri:

1. zagon: 3 možnosti (obrazi 2, 4 in 6);
2. zagon: 3 možnosti (obrazi 1, 3 in 5);
3. zagon: 2 možnosti (obraz 5 in 6).

S PFC, da dobite število ugodnih primerov, samo pomnožite količine:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Možni primeri:

1. zagon: 6 možnosti (obrazi 1, 2, 3, 4, 5 in 6);
2. zagon: 6 možnosti (obrazi 1, 2, 3, 4, 5 in 6);
3. zagon: 6 možnosti (obrazi 1, 2, 3, 4, 5 in 6).

S PFC lahko pridobimo tudi število možnih primerov:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Tako lahko izračunamo želeno verjetnost:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Skupaj \, od \, primerov\, \acute{a}able}{Skupaj \, od\, možnih \ primerov} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \približno 0,083}$

Zato je možnost, da je pri prvem metu prišlo do sodega obraza, pri drugem metu pa neparnega in obraz, večji od 4 pri tretjem metu, je ena proti dvanajstim, kar je približno enako 0,083 oz. 8,3%.

Kombinatorna analiza

Iz PFC so pridobljene druge tehnike za štetje elementov: permutacija, razporeditev in kombinacija.

Permutacija

Omogoča vam, da izračunate število možnosti za organizacijo skupaj n elementov, pri čemer spremenite položaje elementov med seboj.

$\dpi{120} P_n n!$

Ureditev

Omogoča izračun števila možnosti za organizacijo n elementov v skupine velikosti p, kadar je vrstni red elementov pomemben znotraj vsake skupine.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Kombinacija

Omogoča izračun števila možnosti za organiziranje n elementov v skupine velikosti p, ko je vrstni red elementov št pomembna znotraj vsake skupine.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Morda vas bo zanimalo tudi:

pogojna verjetnost
Statistika
Združevanje podatkov v obsege
Mere disperzije
Srednja vrednost, način in mediana

Osnovno načelo štetja

osnovno načelo štetja

Verjetnost

Kombinatorna analiza

3 horoskopska znamenja, ki kažejo močan materinski instinkt

Neupravičeni popusti iz računa INSS: Naučite se prepoznati

Unesp ponuja 73 brezplačnih spletnih tečajev