Obstaja nekaj tehnik za polinomska faktorizacija ki nam omogočajo, da jih zapišemo kot množenje dveh ali več polinomov.
Če želite izvedeti, kako označiti izraz, narediti skupine, pisati kot trinom popolnega kvadrata in številne druge vrste opazne izdelke, poglejte enega seznam rešenih vaj fakturiranja ki smo jih pripravili.
Poglej več
Dijaki iz Ria de Janeira se bodo na olimpijskih igrah potegovali za medalje...
Inštitut za matematiko je odprt za prijave na olimpijado…
Vprašanje 1. Zapišite skupni faktor v dokaz, faktorizirajte polinome:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
2. vprašanje Vsak polinom faktorizirajte:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
3. vprašanje Z uporabo tehnik združevanja v gruče in skupnih faktorjev v dokazih faktorizirajte naslednje polinome:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
4. vprašanje Spodnji polinomi prikazujejo razlike dveh kvadratov. Vsakega od njih zapišite v faktorizirani obliki.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
5. vprašanje Faktoriziraj naslednji polinom tako, da zapišeš kot množenje:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
6. vprašanje Preverite, ali vsak od spodnjih trinomov predstavlja trinom popolnega kvadrata, nato naredite faktorizacijo.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
7. vprašanje. Dopolnite spodnji polinom tako, da bo trinom popolnega kvadrata.
x² + 4x
8. vprašanje. S tehnikami faktoringa poiščite korenine enačb:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x². (3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4. (2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Najprej vzamemo kvadratni koren členov, ki jih kvadriramo:
√a² = The
√25b² = 5b
kot 2. The. 5b = 10ab → preostali člen trinoma. Torej je polinom trinom popolnega kvadrata.
Razčlenimo: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → se ne ujema s preostalim členom, ki je 8x. Torej polinom ni trinom popolnega kvadrata.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → preostali člen trinoma. Torej je polinom trinom popolnega kvadrata.
Razmnožimo: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → preostali člen trinoma. Torej je polinom trinom popolnega kvadrata.
Razložimo na faktorje: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Trinom popolnega kvadrata moramo zapisati takole: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Zato moramo najti vrednost y. Imamo:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Zato moramo polinomu dodati izraz y² = 2² = 4, tako da je trinom popolnega kvadrata: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Postavitev x v dokaz:
x.(x – 9) = 0
Potem je x = 0 oz
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Korenine: 0 in 9
b) Imamo razliko med dvema kvadratoma:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
To pomeni, x + 8 = 0 ali x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Korenine: -8 in 8.
c) Dajanje y kot dokaz:
y.(y – 1) = 0
Torej y = 0 ali y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Korenine: 0 in 1
d) Ob upoštevanju, da je 1 = 1², imamo razliko med dvema kvadratoma:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Zato je x + 1 = 0 ali x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Korenine: – 1 in 1.
Glej tudi:
