O största gemensamma delaren(MDC) mellan två eller flera heltal motsvarar den största delare gemensamt som finns mellan dem. Mellan polynom, MDC har samma idé.
För att förstå hur man beräknar GCD mellan polynom är det därför viktigt att veta hur man beräknar GCD för heltal.
se mer
Studenter från Rio de Janeiro kommer att tävla om medaljer vid OS...
Matematikinstitutet är öppet för anmälan till OS...
På ett praktiskt sätt kan MDC erhållas som produkten av primära faktorer gemensamma som finns mellan siffrorna.
Exempel: Beräkna GCD mellan 16 och 24.
Nedbrytning till primära faktorer:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD mellan 16 och 24 är produkten av de faktorer som är gemensamma för de två talen, dvs.
GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Nu får vi se hur man hittar GCD för polynom. Vi börjar med det enklaste fallet, med polynom som bildas av en enda term: the monomer.
Låt oss se några exempel på hur man beräknar GCD mellan två eller flera monomialer.
Exempel 1: MDC mellan 6x och 15x.
Nedbrytning till primtalsfaktorer har vi:
6 = 2. 3 och 15 = 3. 5
Därför kan vi skriva var och en av monomialerna enligt följande:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Därför är MDC 3x.
Exempel 2: MDC mellan 18x²y och 30xy.
Nedbrytning till primtalsfaktorer har vi:
18 = 2. 3. 3 och 30 = 2. 3. 5
Därför kan vi skriva var och en av monomialerna enligt följande:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y
30xy = 2. 3. 5. x. y
2. 3. x. y = 6x
Så det är MDC 6xy.
För att hitta polynomens GCD kontrollerar vi först om det är möjligt att faktorisera vart och ett av dem. För detta använder vi tekniker för polynomfaktorisering.
Exempel 1: GCD mellan (x² – y²) och (2x – 2y).
Observera att det första polynomet motsvarar en skillnad på två kvadrater. Så vi kan faktorisera det enligt följande:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Redan i det andra polynomet kan vi skriva den gemensamma faktorn 2 som bevis:
2x – 2y = 2.(x – y)
På detta sätt har vi:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Så GCD mellan polynomen är (x - y).
Exempel 2: GCD mellan (x³ + 27) och (x² + 6x + 9).
Det första polynomet motsvarar en summa mellan två kuber, se:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Och det andra polynomet, kvadrerat till summan av två termer:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Så vi måste:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Därför är GCD mellan polynomen (x + 3).
Exempel 3: GCD mellan (2x² – 32) och (x³ + 12x² + 48x + 64).
Här är det första polynomet en skillnad mellan två kvadrater:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Samtidigt är det andra polynomet kuben av summan av två termer:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Så vi måste:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Därför är GCD mellan polynomen (x + 4).
Förvirring mellan begreppen MDC och MMC (minsta gemensamma nämnare). Men medan GCD motsvarar den högsta gemensamma divisorn, ges MMC av den lägsta gemensamma multipeln.
MMC är ett mycket användbart verktyg för att lösa bråkekvationer eftersom, i allmänhet, nämnare av fraktioner de är inte likadana.
I dessa situationer är det vi gör att extrahera MMC mellan nämnarna och därifrån skriva ekvivalenta fraktioner av samma nämnare.
Men nämnare är inte alltid kända tal, de kan vara algebraiska uttryck eller polynom. Därför är det vanligt att man måste beräkna polynom MMC.
Vid den här tiden är det viktigt att inte förvirra och vilja hitta ekvationens GCD, när det som måste beräknas är ekvationens MMC.
Du kanske också är intresserad:
