หลักการพื้นฐานของการนับ

click fraud protection

หลักการพื้นฐานของการนับ (PFC) เป็นหนึ่งในวิธีการนับจำนวน การวิเคราะห์เชิงผสม. หลักการนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้กับองค์ประกอบที่สามารถรับได้ด้วยวิธีต่างๆ

PFC เป็นวิธีการง่ายๆ แต่มีประโยชน์มาก ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาความน่าจะเป็น ในการกำหนดจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้

ดูเพิ่มเติม

นักเรียนจากริโอ เดอ จาเนโรจะแข่งขันเพื่อชิงเหรียญรางวัลในกีฬาโอลิมปิก...

สถาบันคณิตศาสตร์เปิดรับสมัครโอลิมปิก…

หลักการพื้นฐานของการนับ

เพื่ออธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับ PFC ลองใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เพื่อไปจากบ้านของเขาไปยังสวนสัตว์ จูลิโอต้องขึ้นรถบัสที่จะพาเขาไปยังสถานี และที่สถานี เขาต้องขึ้นรถบัสอีกคัน

สมมติว่ามีรถประจำทางสามสายที่พาคุณไปยังสถานี สาย A1, A2 และ A3 และมีสองสายที่พาคุณไปจากสถานีไปยังสวนสัตว์ สาย B1 และ B2 แผนภาพด้านล่างแสดงสถานการณ์นี้:

จูลิโอสามารถเดินทางจากบ้านของเขาไปยังสวนสัตว์ได้หลายวิธีเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยรวมสายรถประจำทางที่มีอยู่เข้าด้วยกัน

จากภาพประกอบจะเห็นว่ามีความเป็นไปได้ทั้งหมด 6 อย่างด้วยกัน อย่างไรก็ตาม เราสามารถค้นพบผลลัพธ์นี้ได้แม้ไม่มีภาพประกอบ

ด้วย PFC เราจะคูณจำนวนบรรทัดที่เป็นไปได้ในส่วนแรกของเส้นทางด้วยจำนวนบรรทัดที่เป็นไปได้ในส่วนที่สอง:

instagram story viewer

จากบ้านถึงสถานี: สาย A1, A2 และ A3 → 3 วิธีทางที่แตกต่าง;
จากสถานีไปสวนสัตว์: สาย B1 และ B2 → 2 วิธีทางที่แตกต่าง;

$\dpi{120} \bold symbol{3 \times 2 6}$

ตัวอย่างที่ 2

ในร้านอาหาร ลูกค้าสามารถเลือกได้ระหว่าง 4 ตัวเลือกสำหรับอาหารเรียกน้ำย่อย 5 ตัวเลือกสำหรับอาหารจานหลัก และ 3 ตัวเลือกสำหรับของหวาน ลูกค้าสามารถเลือกอาหารเรียกน้ำย่อย อาหารจานหลัก และของหวานที่ร้านอาหารนี้ได้กี่วิธี

ห้าม: 4 ตัวเลือก;
จานหลัก: 5ตัวเลือก;
ขนม: 3 ตัวเลือก.

โดย PFC เพียงคูณปริมาณทั้งสามนี้: $\dpi{120} \bold symbol{4 \times 5 \times 3 60}$

ดังนั้นจึงมีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 60 รายการที่ลูกค้าสามารถเลือกได้ โดยมีอาหารเรียกน้ำย่อย อาหารจานหลัก และของหวานในร้านอาหารแห่งนี้

ตัวอย่างที่ 3

สามารถเปลี่ยนลำดับของตัวอักษรในคำว่า SCHOOL ได้กี่คำ

ดูว่าตัวอักษรของคำว่าโรงเรียนไม่ซ้ำกัน แต่แตกต่างกันทั้งหมด จากนั้นในคำที่เกิดขึ้นจะไม่มีตัวอักษรซ้ำเช่นกัน

เมื่อพิจารณาตำแหน่งที่เป็นไปได้ 6 ตำแหน่งสำหรับตัวอักษรในคำ เรามี:

ตำแหน่งที่ 1: 6 มีจดหมาย;
ตำแหน่งที่ 2: 5 มีจดหมาย;
ตำแหน่งที่ 3: 4 มีจดหมาย;
ตำแหน่งที่ 4: 3 มีจดหมาย;
ตำแหน่งที่ 5: 2 มีจดหมาย;
ตำแหน่งที่ 6: 1 จดหมายที่มีอยู่

โดย PFC เพียงคูณปริมาณเหล่านี้:

$\dpi{120} \bold symbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

มาดูกันว่า PFC สำคัญแค่ไหน! ถ้าไม่มี เราจะต้องจดคำศัพท์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด แล้วนับให้ถึงเลข 720

คำที่เกิดจากตัวอักษรของอีกคำหนึ่งเรียกว่า แอนนาแกรม.

ความน่าจะเป็น

PFC มีแอปพลิเคชันจำนวนมากในปัญหาของ ความน่าจะเป็น. หลักการนี้ใช้เพื่อกำหนดจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ในการทดสอบ

ตัวอย่าง:

โยนลูกเต๋าสามครั้งติดต่อกันและตรวจสอบใบหน้าที่ได้รับ อะไรคือความน่าจะเป็นที่จะมีหน้าคู่ในการโยนครั้งแรก หน้าคี่ในการโยนครั้งที่สอง และหน้ามากกว่า 4 ในการโยนครั้งที่สาม?

กรณีที่ดี:

การเปิดตัวครั้งที่ 1: 3 ความเป็นไปได้ (หน้า 2, 4 และ 6);
รุ่นที่ 2: 3 ความเป็นไปได้ (หน้า 1, 3 และ 5);
การเปิดตัวครั้งที่ 3: 2 ความเป็นไปได้ (หน้า 5 และ 6)

โดย PFC เพื่อให้ได้จำนวนกรณีที่เหมาะสม เพียงคูณปริมาณ:

$\dpi{120} \bold symbol{3 \times 3 \times 2 18}$

กรณีที่เป็นไปได้:

การเปิดตัวครั้งที่ 1: 6 ความเป็นไปได้ (หน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6);
รุ่นที่ 2: 6 ความเป็นไปได้ (หน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6);
การเปิดตัวครั้งที่ 3: 6 ความเป็นไปได้ (ใบหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6)

โดย PFC เราสามารถรับจำนวนกรณีที่เป็นไปได้:

$\dpi{120} \bold symbol{6 \times 6\times 6 216}$

ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ต้องการได้:

$\dpi{120} \bold symbol{P \frac{Total \, of \, case\, \acute{a}able}{Total \, of\, possible \ case} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \ประมาณ 0.083}$

ดังนั้นโอกาสที่ออกหน้าคู่ในการโยนครั้งแรก ออกหน้าคี่ในการโยนครั้งที่สอง และหน้ามากกว่า 4 ในการโยนครั้งที่สามคือหนึ่งในสิบสอง ซึ่งเท่ากับประมาณ 0.083 หรือ 8,3%.

การวิเคราะห์เชิงผสม

จาก PFC เทคนิคอื่นๆ สำหรับการนับองค์ประกอบที่ได้มา: การเรียงสับเปลี่ยน การจัดเรียง และการรวมกัน

การเปลี่ยนแปลง

ช่วยให้คุณคำนวณจำนวนความเป็นไปได้ในการจัดระเบียบองค์ประกอบทั้งหมด n รายการ โดยเปลี่ยนตำแหน่งขององค์ประกอบกันเอง

$\dpi{120} P_n n!$

การจัดเตรียม

อนุญาตให้คำนวณจำนวนความเป็นไปได้ในการจัดระเบียบองค์ประกอบ n รายการในกลุ่มขนาด p เมื่อลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญในแต่ละกลุ่ม

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

การผสมผสาน

ช่วยให้สามารถคำนวณจำนวนความเป็นไปได้ในการจัดระเบียบองค์ประกอบ n ในกลุ่มขนาด p เมื่อเรียงลำดับองค์ประกอบ เลขที่ มีความสำคัญในแต่ละกลุ่ม

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

คุณอาจสนใจ:

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
สถิติ
จัดกลุ่มข้อมูลเป็นช่วง
มาตรการกระจายตัว
ค่าเฉลี่ย ฐานนิยม และค่ามัธยฐาน

หลักการพื้นฐานของการนับ

หลักการพื้นฐานของการนับ

ความน่าจะเป็น

การวิเคราะห์เชิงผสม

การตีความข้อความ: นกนางแอ่นสีน้ำเงิน

การตีความข้อความ: วัยรุ่น

การตีความข้อความ: ตัวนิ่มที่เก็บใบไม้