ฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนโค้งสองเท่า

ในการศึกษาของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติมักจะมีปัญหาเกี่ยวกับ ซุ้มคู่. ดังนั้นการรู้สูตรเฉพาะของ ไซน์, โคไซน์ มันคือ สัมผัสกัน ส่วนโค้งประเภทนี้เป็นพื้นฐานในการทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

พิจารณาส่วนโค้งของการวัด $\dpi{120} \อัลฟา$ ส่วนโค้งคู่คือส่วนโค้งของการวัด $\dpi{120} 2\อัลฟา$ . ด้วยวิธีนี้ เราต้องการได้สูตรไซน์ของ $\dpi{120} 2\อัลฟา$ , โคไซน์ของ $\dpi{120} 2\อัลฟา$ และแทนเจนต์ของ $\dpi{120} 2\อัลฟา$ .

ดูเพิ่มเติม

นักเรียนจากริโอ เดอ จาเนโรจะแข่งขันเพื่อชิงเหรียญรางวัลในกีฬาโอลิมปิก...

สถาบันคณิตศาสตร์เปิดรับสมัครโอลิมปิก…

สามารถหาสูตรเหล่านี้ได้จาก สูตรการบวกสองส่วนโค้ง:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\bold symbol{\alpha + \beta}) sin\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\beta} + sin\, \bold symbol{\beta} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\bold symbol{\alpha + \beta}) cos\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\beta} - sen\, \bold symbol{\beta} \cdot sen\, \bold symbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\bold symbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\bold symbol{\alpha + \beta})}{cos(\bold symbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \bold symbol{\alpha} + tan\, \bold symbol{\beta}}{1 - tan\, \bold symbol{\alpha} \cdot tan\, \bold symbol{\beta}}}$

จำการใช้สูตรเหล่านี้จากตัวอย่างที่เราได้ไซน์ 75° จากไซน์และโคไซน์ของ มุมที่น่าทึ่ง 30° และ 45°

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0.96$

ทีนี้มาดูกันว่าสูตรของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติส่วนโค้งสองเท่า.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของส่วนโค้งคู่

กำหนดส่วนโค้งของการวัด $\dpi{120} \อัลฟา$ ส่วนโค้งคู่คือส่วนโค้งของการวัด $\dpi{120} 2\อัลฟา$ . เนื่องจาก $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ เราสามารถใช้สูตรสำหรับการเพิ่มสองส่วนโค้งเพื่อให้ได้สูตรสำหรับส่วนโค้งคู่

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\bold symbol{\alpha})sen(\bold symbol{\alpha + \alpha}) sin\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha} + sen\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha}) }$

ดังนั้น การ ไซน์อาร์คคู่ ได้จากสูตรต่อไปนี้:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\bold symbol{\alpha}) 2. (sen\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha}) }$

ตอนนี้ดูว่า:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\bold symbol{\alpha})cos(\bold symbol{\alpha + \alpha}) cos\, \bold symbol{\alpha} \cdot cos\, \bold symbol{\alpha} - sen\, \bold symbol{\alpha} \cdot sen\, \bold symbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \bold symbol{\alpha} - sin^2\, \bold symbol{\alpha} }$

ดังนั้น การ โคไซน์อาร์คสองเท่า ได้จากสูตรต่อไปนี้:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\bold symbol{\alpha}) cos^2\, \bold symbol{\alpha} - sin^2\, \bold symbol{\alpha} }$

เกี่ยวกับแทนเจนต์ เรามี:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\bold symbol{\alpha})tan(\bold symbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \bold symbol{\alpha} + tan\, \bold symbol{\alpha}}{1 - tan\, \bold symbol{\alpha} \cdot tan\, \bold symbol{\alpha}}}$