Saymanın temel ilkesi

saymanın temel ilkesi (PFC) sayı sayma yöntemlerinden biridir. kombinatoryal analiz. Bu ilke, farklı şekillerde elde edilebilecek elemanlarla olası kombinasyonların sayısını hesaplamamızı sağlar.

PFC, olası olayların sayısını belirlemede olasılık problemlerinde yaygın olarak kullanılan basit ama çok kullanışlı bir yöntemdir.

daha fazla gör

Rio de Janeirolu öğrenciler Olimpiyatlarda madalya için yarışacak…

Matematik Enstitüsü Olimpiyat Oyunları için kayıtlara açıldı…

saymanın temel ilkesi

PFC hakkında daha fazla açıklama yapmak için bazı örnekler kullanalım.

örnek 1

Júlio'nun evinden hayvanat bahçesine gitmek için kendisini istasyona götüren bir otobüse binmesi gerekiyor ve istasyonda başka bir otobüse binmesi gerekiyor.

Diyelim ki sizi istasyona götüren üç otobüs hattı var, A1, A2 ve A3 hatları ve sizi istasyondan hayvanat bahçesine götüren iki hat, B1 ve B2 hatları var. Aşağıdaki şema bu durumu göstermektedir:

Júlio, mevcut otobüs hatlarını birleştirerek evinden hayvanat bahçesine mümkün olduğunca çok şekilde gidebilir.

Çizimden toplamda 6 olasılık olduğunu görebiliriz. Ancak, bu sonucu resim olmadan da keşfedebiliriz.

PFC ile, yolun ilk bölümündeki olası satır sayısı ile ikinci bölümdeki olası satır sayısını çarparız:

Evden istasyona: A1, A2 ve A3 hatları → 3 Farklı yollar;
İstasyondan hayvanat bahçesine: B1 ve B2 hatları → 2 Farklı yollar;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Örnek 2

Bir restoranda müşteri başlangıç için 4, ana yemek için 5 ve tatlı için 3 seçenek arasından seçim yapabilir. Bir müşteri bu restoranda başlangıç, ana yemek ve tatlıyı kaç farklı şekilde seçebilir?

yasak: 4 seçenekler;
Ana dil: 5seçenekler;
Tatlı: 3 seçenekler.

PFC ile, sadece şu üç miktarı çarpın: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Bu nedenle, müşterinin bu restoranda bir başlangıç, bir ana yemek ve bir tatlı ile seçebileceği 60 olası kombinasyon vardır.

Örnek 3

OKUL kelimesindeki harflerin sırası değiştirilerek kaç farklı kelime oluşturulabilir?

Bakın okul kelimesinin harfleri tekrarlanmıyor, hepsi farklı. O halde oluşan kelimelerde yinelenen harfler de olamaz.

Kelimedeki harflerin 6 olası konumu göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

1. pozisyon: 6 mevcut harfler;
2. konum: 5 mevcut harfler;
3. pozisyon: 4 mevcut harfler;
4. pozisyon: 3 mevcut harfler;
5. pozisyon: 2 mevcut harfler;
6. pozisyon: 1 mektup mevcuttur.

PFC ile, sadece şu miktarları çarpın:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

PFC'nin ne kadar önemli olduğunu görün! Onsuz, tüm olası kelimeleri yazmamız ve ardından 720 sayısına ulaşmak için onları saymamız gerekirdi.

Başkasının harflerinden oluşan kelimelere denir. anagramlar.

olasılık

PFC problemlerinde birçok uygulamaya sahiptir. olasılık. İlke, bir deneydeki olası olayların sayısını belirlemek için kullanılır.

Örnek:

Bir zar arka arkaya üç kez atılır ve elde edilen yüz kontrol edilir. Birinci atışta çift, ikinci atışta tek ve üçüncü atışta 4'ten büyük bir yüz gelme olasılığı nedir?

Uygun durumlar:

1. lansman: 3 olasılıklar (yüzler 2, 4 ve 6);
2. lansman: 3 olasılıklar (yüz 1, 3 ve 5);
3. lansman: 2 olasılıklar (yüz 5 ve 6).

PFC ile, olumlu durumların sayısını elde etmek için, sadece miktarları çarpın:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Olası durumlar:

1. lansman: 6 olasılıklar (yüzler 1, 2, 3, 4, 5 ve 6);
2. lansman: 6 olasılıklar (yüzler 1, 2, 3, 4, 5 ve 6);
3. lansman: 6 olasılıklar (yüzler 1, 2, 3, 4, 5 ve 6).

PFC ile olası vaka sayısını da elde edebiliriz:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Böylece, istenen olasılığı hesaplayabiliriz:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Toplam \, of \, vakalar\, \acute{a}able}{Total \, of\, olası \ vakalar} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \yaklaşık 0,083}$

Bu nedenle, ilk atışta çift yüz, ikinci atışta tek yüz bulma şansı ve üçüncü atışta 4'ten büyük bir yüz on ikide birdir, bu da yaklaşık olarak 0,083'e eşittir veya 8,3%.

kombinatoryal analiz

PFC'den elemanları saymak için diğer teknikler elde edilir: permütasyon, düzenleme ve kombinasyon.

permütasyon

Öğelerin kendi aralarındaki konumlarını değiştirerek toplam n öğeyi organize etme olasılıklarının sayısını hesaplamanıza olanak tanır.

$\dpi{120} P_n n!$

Ayarlama

Her grupta öğelerin sırası önemli olduğunda, n öğeyi p büyüklüğündeki gruplarda organize etme olasılıklarının sayısını hesaplamaya izin verir.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Kombinasyon

Elemanların sırası belirlendiğinde, n elemanı p büyüklüğündeki gruplarda organize etme olasılıklarının sayısını hesaplamaya izin verir. HAYIR her grup içinde önemlidir.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Ayrıca ilginizi çekebilir:

şartlı olasılık
istatistik
Verileri aralıklar halinde gruplama
Dağılım önlemleri
Ortalama, mod ve medyan

Saymanın temel ilkesi

saymanın temel ilkesi

olasılık

kombinatoryal analiz

4. yıl coğrafya etkinlikleri

2. yıl yorumlama için metinler

Metin yorumu: Geldikleri topraklar