О найбільший спільний дільник(MDC) між двома або більше цілі числа відповідає найбільшому роздільник спільне, що існує між ними. Між поліноми, MDC має ту саму ідею.
Таким чином, щоб зрозуміти, як обчислити НОД між поліномами, важливо знати, як обчислити НОД цілих чисел.
побачити більше
Студенти з Ріо-де-Жанейро змагатимуться за медалі на Олімпіаді…
Інститут математики відкриває реєстрацію на олімпіаду…
На практиці MDC можна отримати як продукт прості множники загальні, які існують між числами.
приклад: Обчисліть НОД між 16 і 24.
Розкладання на прості множники:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
НОД між 16 і 24 є добутком множників, спільних для двох чисел, тобто
НОД(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Тепер подивимось як знайти НОД поліномів. Ми почнемо з найпростішого випадку, з поліномів, утворених одним членом: the одночлени.
Давайте розглянемо кілька прикладів того, як обчислити НОД між двома чи більше одночленами.
приклад 1: MDC між 6x і 15x.
Розклавши на прості множники, маємо:
6 = 2. 3 і 15 = 3. 5
Отже, ми можемо записати кожен з одночленів так:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Таким чином, MDC є 3x.
приклад 2: MDC між 18x²y і 30xy.
Розклавши на прості множники, маємо:
18 = 2. 3. 3 і 30 = 2. 3. 5
Отже, ми можемо записати кожен з одночленів так:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. р
30xy = 2. 3. 5. x. р
2. 3. x. y = 6x
Отже, MDC є 6xy.
Щоб знайти НОД поліномів, ми спочатку перевіримо, чи можна кожен з них розкласти на множники. Для цього ми використовуємо прийоми поліноміальна факторізація.
приклад 1: НОД між (x² – y²) і (2x – 2y).
Зверніть увагу, що перший многочлен відповідає різниці двох квадратів. Отже, ми можемо розкласти це так:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Уже в другому многочлені ми можемо записати загальний множник 2 як доказ:
2x – 2y = 2.(x – y)
Таким чином ми маємо:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Отже, НОД між поліномами дорівнює (x - y).
приклад 2: НОД між (x³ + 27) і (x² + 6x + 9).
Перший многочлен відповідає сумі двох кубів, див.
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
А другий поліном, зведений у квадрат до суми двох доданків:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Отже, ми повинні:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Отже, НОД між поліномами дорівнює (x + 3).
приклад 3: НОД між (2x² – 32) і (x³ + 12x² + 48x + 64).
Тут перший поліном є різницею між двома квадратами:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
При цьому другий поліном є кубом суми двох доданків:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Отже, ми повинні:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Отже, НОД між поліномами дорівнює (x + 4).
Плутанина понять МДК і MMC (найменше спільне кратне). Однак, хоча GCD відповідає найвищому спільному дільнику, MMC задається найменшим спільним кратним.
MMC є дуже корисним інструментом для розв’язування дробових рівнянь, оскільки, як правило, знаменники частки вони не однакові.
У таких ситуаціях ми витягуємо MMC між знаменниками та записуємо звідти еквівалентні дроби того самого знаменника.
Однак знаменники не завжди є відомими числами, ними можуть бути алгебраїчні вирази або поліноми. Тому зазвичай доводиться розраховувати поліном MMC.
У цей час важливо не розгубитися і захотіти знайти НОД рівняння, коли потрібно обчислити MMC рівняння.
Вас також може зацікавити: