Основний принцип підрахунку

основний принцип підрахунку (PFC) є одним із методів підрахунку чисел комбінаторний аналіз. Цей принцип дозволяє розрахувати кількість можливих комбінацій з елементами, які можна отримати різними способами.

PFC є простим, але дуже корисним методом, який широко використовується в імовірнісних задачах для визначення кількості можливих подій.

основний принцип підрахунку

Щоб пояснити більше про PFC, давайте використаємо кілька прикладів.

Приклад 1

Щоб дістатися від свого дому до зоопарку, Хуліо повинен сісти на автобус, який доставить його на станцію, а на станції йому потрібно сісти на інший автобус.

Припустімо, що є три автобусні лінії, які везуть вас до вокзалу, лінії A1, A2 і A3, і що є дві лінії, які везуть вас від вокзалу до зоопарку, лінії B1 і B2. Діаграма нижче ілюструє цю ситуацію:

Хуліо може доїхати від свого дому до зоопарку якомога багатьма способами, комбінуючи доступні маршрути автобуса.

З ілюстрації ми бачимо, що всього є 6 варіантів. Однак ми можемо виявити цей результат навіть без ілюстрації.

За PFC ми множимо кількість можливих рядків у першій частині шляху на кількість можливих рядків у другій частині:

• Від дому до вокзалу: лінії A1, A2 і A3 → 3 різні шляхи;
• Від вокзалу до зоопарку: маршрути B1 і B2 → 2 різні шляхи;

Приклад 2

У ресторані клієнт може вибрати між 4 варіантами перших страв, 5 варіантами основної страви та 3 варіантами десерту. Скількома способами клієнт може вибрати закуску, основну страву та десерт у цьому ресторані?

• Заборонено: 4 параметри;
• Головна страва: 5параметри;
• десерт: 3 параметри.

На PFC просто помножте ці три величини:

Таким чином, у цьому ресторані є 60 можливих комбінацій, з яких клієнт може обрати закуску, основну страву та десерт.

Приклад 3

Скільки різних слів можна утворити, змінюючи порядок букв у слові ШКОЛА?

Дивіться, щоб букви слова школа не повторювалися, вони всі різні. Тоді в утворених словах також не може бути букв, що повторюються.

Розглядаючи 6 можливих позицій для букв у слові, маємо:

• 1 позиція: 6 листи в наявності;
• 2 позиція: 5 листи в наявності;
• 3 позиція: 4 листи в наявності;
• 4 позиція: 3 листи в наявності;
• 5 позиція: 2 листи в наявності;
• 6 позиція: 1 лист в наявності.

Просто помножте ці величини на PFC:

Подивіться, наскільки важливий PFC! Без нього нам довелося б записати всі можливі слова, а потім порахувати їх, щоб отримати число 720.

Слова, утворені з букв іншої, називаються анаграми.

Ймовірність

PFC має багато застосування в проблемах ймовірність. Принцип використовується для визначення кількості можливих подій в експерименті.

приклад:

Гральний кубик кидають три рази поспіль і перевіряють отримане обличчя. Яка ймовірність того, що під час першого підкидання буде парна грань, під час другого підкидання – непарна грань, а під час третього підкидання – грань більше 4?

Сприятливі випадки:

• 1-й запуск: 3 можливості (грані 2, 4 і 6);
• 2-й запуск: 3 можливості (грані 1, 3 і 5);
• 3-й запуск: 2 можливості (обличчя 5 і 6).

На PFC, щоб отримати кількість сприятливих випадків, просто помножте кількість:

Можливі випадки:

• 1-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6);
• 2-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6);
• 3-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6).

За PFC ми також можемо отримати кількість можливих випадків:

Таким чином, ми можемо обчислити шукану ймовірність:

Таким чином, ймовірність того, що під час першого кидка буде парне обличчя, а під час другого – непарне і обличчя більше 4 під час третього підкидання дорівнює одному з дванадцяти, що дорівнює приблизно 0,083 або 8,3%.

Комбінаторний аналіз

З PFC отримані інші прийоми підрахунку елементів: перестановка, розташування та комбінування.

Перестановка

Дозволяє обчислити кількість можливостей організації всього n елементів, змінюючи положення елементів між собою.

Аранжування

Дозволяє обчислити кількість можливостей для організації n елементів у групи розміром p, коли порядок елементів важливий у кожній групі.

Комбінація

Це дозволяє обчислити кількість можливостей організації n елементів у групи розміром p, коли порядок елементів немає є важливим у кожній групі.

Вас також може зацікавити:

• умовна ймовірність
• статистика
• Групування даних у діапазони
• Заходи дисперсії
• Середнє, мода та медіана