Основний принцип підрахунку

основний принцип підрахунку (PFC) є одним із методів підрахунку чисел комбінаторний аналіз. Цей принцип дозволяє розрахувати кількість можливих комбінацій з елементами, які можна отримати різними способами.

PFC є простим, але дуже корисним методом, який широко використовується в імовірнісних задачах для визначення кількості можливих подій.

побачити більше

Студенти з Ріо-де-Жанейро змагатимуться за медалі на Олімпіаді…

Інститут математики відкриває реєстрацію на олімпіаду…

основний принцип підрахунку

Щоб пояснити більше про PFC, давайте використаємо кілька прикладів.

Приклад 1

Щоб дістатися від свого дому до зоопарку, Хуліо повинен сісти на автобус, який доставить його на станцію, а на станції йому потрібно сісти на інший автобус.

Припустімо, що є три автобусні лінії, які везуть вас до вокзалу, лінії A1, A2 і A3, і що є дві лінії, які везуть вас від вокзалу до зоопарку, лінії B1 і B2. Діаграма нижче ілюструє цю ситуацію:

Хуліо може доїхати від свого дому до зоопарку якомога багатьма способами, комбінуючи доступні маршрути автобуса.

З ілюстрації ми бачимо, що всього є 6 варіантів. Однак ми можемо виявити цей результат навіть без ілюстрації.

За PFC ми множимо кількість можливих рядків у першій частині шляху на кількість можливих рядків у другій частині:

Від дому до вокзалу: лінії A1, A2 і A3 → 3 різні шляхи;
Від вокзалу до зоопарку: маршрути B1 і B2 → 2 різні шляхи;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Приклад 2

У ресторані клієнт може вибрати між 4 варіантами перших страв, 5 варіантами основної страви та 3 варіантами десерту. Скількома способами клієнт може вибрати закуску, основну страву та десерт у цьому ресторані?

Заборонено: 4 параметри;
Головна страва: 5параметри;
десерт: 3 параметри.

На PFC просто помножте ці три величини: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Таким чином, у цьому ресторані є 60 можливих комбінацій, з яких клієнт може обрати закуску, основну страву та десерт.

Приклад 3

Скільки різних слів можна утворити, змінюючи порядок букв у слові ШКОЛА?

Дивіться, щоб букви слова школа не повторювалися, вони всі різні. Тоді в утворених словах також не може бути букв, що повторюються.

Розглядаючи 6 можливих позицій для букв у слові, маємо:

1 позиція: 6 листи в наявності;
2 позиція: 5 листи в наявності;
3 позиція: 4 листи в наявності;
4 позиція: 3 листи в наявності;
5 позиція: 2 листи в наявності;
6 позиція: 1 лист в наявності.

Просто помножте ці величини на PFC:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Подивіться, наскільки важливий PFC! Без нього нам довелося б записати всі можливі слова, а потім порахувати їх, щоб отримати число 720.

Слова, утворені з букв іншої, називаються анаграми.

Ймовірність

PFC має багато застосування в проблемах ймовірність. Принцип використовується для визначення кількості можливих подій в експерименті.

приклад:

Гральний кубик кидають три рази поспіль і перевіряють отримане обличчя. Яка ймовірність того, що під час першого підкидання буде парна грань, під час другого підкидання – непарна грань, а під час третього підкидання – грань більше 4?

Сприятливі випадки:

1-й запуск: 3 можливості (грані 2, 4 і 6);
2-й запуск: 3 можливості (грані 1, 3 і 5);
3-й запуск: 2 можливості (обличчя 5 і 6).

На PFC, щоб отримати кількість сприятливих випадків, просто помножте кількість:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Можливі випадки:

1-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6);
2-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6);
3-й запуск: 6 можливості (грані 1, 2, 3, 4, 5 і 6).

За PFC ми також можемо отримати кількість можливих випадків:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Таким чином, ми можемо обчислити шукану ймовірність:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Всього \, з \, випадків\, \acute{a}able}{Всього \, з\, можливих \ випадків} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \приблизно 0,083}$

Таким чином, ймовірність того, що під час першого кидка буде парне обличчя, а під час другого – непарне і обличчя більше 4 під час третього підкидання дорівнює одному з дванадцяти, що дорівнює приблизно 0,083 або 8,3%.

Комбінаторний аналіз

З PFC отримані інші прийоми підрахунку елементів: перестановка, розташування та комбінування.

Перестановка

Дозволяє обчислити кількість можливостей організації всього n елементів, змінюючи положення елементів між собою.

$\dpi{120} P_n n!$

Аранжування

Дозволяє обчислити кількість можливостей для організації n елементів у групи розміром p, коли порядок елементів важливий у кожній групі.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Комбінація

Це дозволяє обчислити кількість можливостей організації n елементів у групи розміром p, коли порядок елементів немає є важливим у кожній групі.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Вас також може зацікавити:

умовна ймовірність
статистика
Групування даних у діапазони
Заходи дисперсії
Середнє, мода та медіана

Детальніше про очікуване переналагодження талона на газ

Основний принцип підрахунку

основний принцип підрахунку

Ймовірність

Комбінаторний аналіз

Детальніше про очікуване переналагодження талона на газ

ЦЬОГО правила необхідно дотримуватися, щоб отримати новий RG

Uber дозволить водіям і пасажирам записувати аудіо поїздок