Има някои техники за полиномна факторизация които ни позволяват да ги запишем като умножение на два или повече полинома.
За да научите как да подчертавате термин, направете групиране, пишете като тричлен на перфектен квадрат и много други видове забележителни продукти, вижте един списък с решени упражнения за фактуриране които подготвихме.
виж повече
Ученици от Рио де Жанейро ще се борят за медали на олимпиадата...
Институтът по математика е отворен за записване за олимпиадата...
Въпрос 1. Записвайки общия множител в доказателство, факторизирайте полиномите:
а) 15x + 15y
б) x² + 9xy
в) ab – a³b³
г) a²z + abz
Въпрос 2. Разложете на множители всеки от полиномите:
а) x² – xy – x
б) 24x³ – 8x² – 56x³
в) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Въпрос 3. Използвайки техниките за групиране и общ фактор в доказателства, факторизирайте следните полиноми:
а) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
в) 2an + n -2am – m
г) ax – bx + cx + ay – by + cy
Въпрос 4. Полиномите по-долу показват разликите на два квадрата. Запишете всяко от тях разложено на множители.
а) a² – 64
б) (x – 4)² – 16
в) (y + 1)² – 25
г) x² – (x + y)²
Въпрос 5. Разложете на множители следния полином, като го запишете като умножение:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Въпрос 6. Проверете дали всеки от триномите по-долу представлява перфектен квадратен трином, след което направете факторизацията.
а) a² – 10ab + 25b²
б) x² – 8x + 25
в) 9x² – 6x + 1
г) 16a² + 24ab + 9b²
Въпрос 7. Попълнете полинома по-долу, така че да е перфектен квадратен трином.
x² + 4x
Въпрос 8. Използвайки техники за факторизиране, намерете корените на уравненията:
а) x² – 9x = 0
б) x² – 64 = 0
в) y² – y = 0
г) x² – 1 = 0
а) 15x + 15y = 15.(x + y)
б) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
г) a²z + abz = az.(a + b)
а) x² – xy – x = x.(x – y -1)
б) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
в) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
б) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
в) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
г) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2а – 2б). (4) =
4. (2a – 2b)
а) a² – 10ab + 25b²
Първо, изваждаме корен квадратен от членовете, които повдигаме на квадрат:
√a² = The
√25b² = 5б
като 2. The. 5б = 10ab → оставащ член на тричлена. Така че полиномът е перфектен квадратен трином.
Нека разложим на множители: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
б) x² – 8x + 25
√x² = х
√25 = 5
2. х. 5 = 10x → не съответства на оставащия член, който е 8x. Така че полиномът не е перфектен квадратен трином.
в) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → оставащ член на тричлена. Така че полиномът е перфектен квадратен трином.
Нека разложим на множители: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
г) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4-ти
√9b² = 3б
2. 4-ти. 3б = 24ab → оставащ член на тричлена. Така че полиномът е перфектен квадратен трином.
Нека разложим на множители: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Трябва да напишем трином на перфектен квадрат, както следва: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Така че трябва да намерим стойността на y. Ние имаме:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
По този начин трябва да добавим члена y² = 2² = 4 към полинома, така че да е перфектен квадратен трином: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
а) Поставяне на x в доказателство:
x.(x – 9) = 0
Тогава x = 0 или
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Корени: 0 и 9
б) Имаме разлика между два квадрата:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Тоест, x + 8 = 0 или x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Корени: -8 и 8.
в) Поставяне на y като доказателство:
y.(y – 1) = 0
Така че y = 0 или y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Корени: 0 и 1
г) Спомняйки си, че 1 = 1², имаме разлика между два квадрата:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Така че x + 1 = 0 или x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Корени: – 1 и 1.
Вижте също:
