Tegn på en 2. grads ligning

click fraud protection

En 2. grads funktion er enhver funktion af formen f(x) = ax² + bx + c = 0, med Det, B det er w være reelle tal og Det forskellig fra nul.

studere tegn på en 2. grads funktion betyder at sige for hvilke værdier x funktionen er positiv, negativ eller lig med nul.

se mere

Studerende fra Rio de Janeiro vil konkurrere om medaljer ved OL...

Institut for Matematik er åben for tilmelding til OL...

På denne måde skal vi identificere, hvad der er værdierne af x, hvor vi har:

f (x) > 0 → positiv funktion

f (x) < 0 → negativ funktion

f (x) = 0 → nul funktion

Men hvordan kan vi vide dette? En af måderne at studere tegnet på en 2. grads funktion er gennem dens graf, som er en lignelse.

Tegn på en 2. grads funktion fra grafen

Ved kartesisk fly, f (x) > 0 svarer til den del af parablen, der er over x-aksen, f (x) = 0 den del af parablen, der skærer x-aksen og f (x) < 0, den del af parablen det er under x-aksen.

Så vi skal bare skitsere parablen for at identificere funktionens tegn. Skitsen er lavet blot ved at vide hvad

instagram story viewer

konkavitet af parablen og om den skærer x-aksen eller ej, og hvis den gør, på hvilke punkter den gør det.

Vi kan have seks forskellige sager.

Case 1) Tegn på en 2. grads funktion med to rødder $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ tydelig og konkavitet af parablen vendt opad.

Fra grafen kan vi identificere, at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, hvis\: \mathrm{x x_1} \: eller\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: eller \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{Hvid} 0000} \end{matrix}\right.$

Tilfælde 2) Tegn på en 2. grads funktion med to rødder $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinkt og konkavitet af parablen vender nedad.

Fra grafen kan vi identificere, at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: eller \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: eller \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrix}\right.$

Case 3) Tegn på en 2. grads funktion med to rødder $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ lige og konkavitet af parablen vender opad.

Fra grafen kan vi identificere, at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

Case 4) Tegn på en 2. grads funktion med to rødder $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ det er $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ lige og konkavitet af parablen vender nedad.

Fra grafen kan vi identificere, at:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

Case 5) Tegn på en funktion af 2. grad uden egentlige rødder og parabel konkave opad. Tegn på en 2. grads funktion

I dette tilfælde har vi f (x) > 0 for enhver x, der hører til realerne.

Case 6) Tegn på en funktion af 2. grad uden egentlige rødder og konkavitet af parablen vendt nedad.

I dette tilfælde har vi f (x) < 0 for enhver x, der hører til realerne.

Sådan kontrollerer du parablens konkavitet

Parablens konkavitet kan bestemmes af værdien af koefficienten Det af 2. grads funktion.

Hvis a > 0, så er parablen konkav opad;
Hvis a < 0, så er parablen konkav nedad.

Sådan kontrolleres om parablen skærer x-aksen

At kontrollere, om parablen skærer x-aksen eller ej, betyder at bestemme, om funktionen har rødder eller ej, og i givet fald hvad de er. Vi kan bestemme dette ved at beregne diskriminerende: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, har funktionen to forskellige reelle rødder, og parablen skærer x-aksen i to forskellige punkter.
hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, funktionen har to lige store reelle rødder, parablen skærer x-aksen i et enkelt punkt.
hvis $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, funktionen har ingen reelle rødder, og parablen skærer ikke x-aksen, idet den er helt over af x-aksen, hvis den er konkav opad og helt under x-aksen, hvis den er konkav nedad lav.