Algebraische Brüche addieren und subtrahieren

A Addition und Subtraktion algebraischer Brüche erfolgt ähnlich wie das Addieren und Subtrahieren numerischer Brüche, mit dem Unterschied, dass es sich um algebraische Brüche handelt Polynome.

Wenn die Nenner algebraischer Brüche gleich sind, addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler und behalten Sie den Nenner.

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Wenn die Nenner jedoch unterschiedlich sind, müssen wir schreiben äquivalente Brüche mit gleichen Nennern, um dann die Addition oder Subtraktion durchzuführen. Berechnen Sie in diesem Fall die MMC von Polynomen.

Algebraische Brüche mit gleichen Nennern

Wenn die Nenner algebraischer Brüche gleich sind, addieren oder subtrahieren wir die Zähler und behalten den Nenner.

Beispiele:

a) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} \frac{7x+3x}{y^2} \frac{10x}{y^2 } }$

b) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} \frac{9 + a - (a-b)}{b-1} \frac{ 9 -b}{b-1} }$

Algebraische Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Wenn die Nenner der algebraischen Brüche unterschiedlich sind, berechnen wir den kgV der Nenner und schreiben äquivalente Brüche mit demselben Nenner.

Dann berechnen wir wie im vorherigen Fall die Addition oder Subtraktion gleicher Nenner.

Beispiele:

a) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}}$ .

Wir faktorisieren jedes der Polynome, die im Nenner stehen:

$\dpi{120} \mathrm{2y 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x 2\cdot x}$

Der MMC ist das Produkt zwischen den Faktoren, jedoch ohne Wiederholung derselben Faktoren:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC 2\cdot y\cdot x 2yx}$

Beachten Sie, dass wir die Zahl 2, die bei der Faktorisierung der beiden Polynome vorkommt, nicht wiederholen.

Mit MMC schreiben wir äquivalente Brüche mit demselben Nenner um:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2}{2yx}+ \frac{y^2}{2yx}}$

Schließlich berechnen wir die Summe algebraischer Brüche, die bereits denselben Nenner haben:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2+y^2}{2yx}}$

b) Berechnen Sie $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Um den MMC zwischen den Polynomen im Nenner zu finden, faktorisieren wir jedes einzelne davon.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 a^2 - 3^2 (a-3)\cdot (a+3)}$ → Faktorisierung der Differenz zweier Quadrate

$\dpi{120} \mathrm{a+ 3 a+3}$ → bleibt gleich

Der MMC ist das Produkt zwischen den Faktoren, jedoch ohne Wiederholung derselben Faktoren.

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC (a+3)\cdot (a-3)}$

Beachten Sie, dass wir (a + 3) nicht wiederholen, was bei der Faktorisierung der beiden Polynome vorkommt.

Mit MMC schreiben wir äquivalente Brüche mit demselben Nenner um:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a}{(a+3)\cdot (a-3)} -\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Schließlich berechnen wir die Summe algebraischer Brüche, die bereits denselben Nenner haben:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a - 7(a-3)}{(a+3)\ cdot (a-3)} \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3 ) )} }$

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