Ö größter gemeinsamer Teiler(MDC) zwischen zwei oder mehr ganze Zahlen entspricht dem Größten Teiler Gemeinsamkeit, die zwischen ihnen besteht. Zwischen Polynome, das MDC hat die gleiche Idee.
Um zu verstehen, wie der GCD zwischen Polynomen berechnet wird, ist es daher wichtig zu wissen, wie der GCD von ganzen Zahlen berechnet wird.
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Praktischerweise kann der MDC als Produkt von erhalten werden Primfaktoren Gemeinsamkeiten, die zwischen den Zahlen bestehen.
Beispiel: Berechnen Sie den GCD zwischen 16 und 24.
Zerlegung in Primfaktoren:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
Der GCD zwischen 16 und 24 ist das Produkt der Faktoren, die den beiden Zahlen gemeinsam sind, d. h.
GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Nun mal sehen wie man GCD von Polynomen findet. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, bei dem Polynome aus einem einzigen Term bestehen: dem Monome.
Sehen wir uns einige Beispiele für die Berechnung des GCD zwischen zwei oder mehr Monomen an.
Beispiel 1: MDC zwischen 6x und 15x.
Durch Zerlegung in Primfaktoren ergibt sich:
6 = 2. 3 und 15 = 3. 5
Daher können wir jedes der Monome wie folgt schreiben:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Daher ist das MDC 3x.
Beispiel 2: MDC zwischen 18x²y und 30xy.
Durch Zerlegung in Primfaktoren ergibt sich:
18 = 2. 3. 3 und 30 = 2. 3. 5
Daher können wir jedes der Monome wie folgt schreiben:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. j
30xy = 2. 3. 5. X. j
2. 3. X. y = 6x
Das ist also das MDC 6xy.
Um die GCD von Polynomen zu ermitteln, prüfen wir zunächst, ob es möglich ist, jedes von ihnen zu faktorisieren. Hierzu nutzen wir Techniken von Polynomfaktorisierung.
Beispiel 1: GCD zwischen (x² – y²) und (2x – 2y).
Beachten Sie, dass das erste Polynom einer Differenz von zwei Quadraten entspricht. Wir können es also wie folgt faktorisieren:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Bereits im zweiten Polynom können wir den gemeinsamen Faktor 2 nachweislich schreiben:
2x – 2y = 2.(x – y)
Auf diese Weise haben wir:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Der GCD zwischen den Polynomen ist also (x - y).
Beispiel 2: GCD zwischen (x³ + 27) und (x² + 6x + 9).
Das erste Polynom entspricht einer Summe zwischen zwei Würfeln, siehe:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Und das zweite Polynom, quadriert zur Summe zweier Terme:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Also müssen wir:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Daher ist der GCD zwischen den Polynomen (x + 3).
Beispiel 3: GCD zwischen (2x² – 32) und (x³ + 12x² + 48x + 64).
Hier ist das erste Polynom eine Differenz zwischen zwei Quadraten:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Unterdessen ist das zweite Polynom die Potenz der Summe zweier Terme:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Also müssen wir:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Daher ist der GCD zwischen den Polynomen (x + 4).
Verwirrung zwischen den Konzepten von MDC und MMC (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Während GCD jedoch dem höchsten gemeinsamen Teiler entspricht, ist MMC das kleinste gemeinsame Vielfache.
MMC ist ein sehr nützliches Werkzeug zum Lösen von Bruchgleichungen, da im Allgemeinen die Nenner der Brüche sie sind nicht gleich.
In diesen Situationen extrahieren wir die MMC zwischen den Nennern und schreiben von dort aus äquivalente Brüche des gleichen Nenners.
Nenner sind jedoch nicht immer bekannte Zahlen, sondern können algebraische Ausdrücke oder Polynome sein. Daher ist es üblich, die zu berechnen Polynom-MMC.
Zu diesem Zeitpunkt ist es wichtig, nicht zu verwirren und zu wollen Finden Sie den GCD der Gleichung, wenn das, was berechnet werden muss, der MMC der Gleichung ist.
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