Trigonometrische Doppelbogenfunktionen

Im Studium von trigonometrische Funktionen, es gibt oft Probleme damit Doppelbögen. Daher ist die Kenntnis der spezifischen Formeln der Sinus, Kosinus Es ist Tangente Diese Art von Lichtbogen ist für die Vereinfachung vieler Berechnungen von grundlegender Bedeutung.

Betrachten Sie einen beliebigen Maßbogen $\dpi{120} \alpha$ , der Doppelbogen ist der Maßbogen $\dpi{120} 2\alpha$ . Auf diese Weise wollen wir Sinusformeln von erhalten $\dpi{120} 2\alpha$ , Kosinus von $\dpi{120} 2\alpha$ und Tangente von $\dpi{120} 2\alpha$ .

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Diese Formeln können von der erhalten werden Zwei-Bogen-Additionsformeln:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Erinnern Sie sich an die Verwendung dieser Formeln anhand eines Beispiels, bei dem wir den Sinus von 75° aus dem Sinus und Cosinus von erhalten bemerkenswerte Winkel 30° und 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Nun wollen wir sehen, wie die Formeln des trigonometrische Doppelbogenfunktionen.

Trigonometrische Funktionen von Doppelbögen

Gegeben ein Maßbogen

$\dpi{120} \alpha$ , der Doppelbogen ist der Maßbogen $\dpi{120} 2\alpha$ . Seit $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ können wir die Formeln zum Addieren zweier Bögen verwenden, um die Formeln für den Doppelbogen zu erhalten.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

deshalb, die Doppelbogensinus wird durch die folgende Formel erhalten:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Sehen Sie sich Folgendes an:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

deshalb, die Doppelbogenkosinus wird durch die folgende Formel erhalten:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Bezüglich der Tangente gilt:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

deshalb, die doppelter Bogentangens wird durch die folgende Formel erhalten:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

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