Es gibt einige Techniken von Polynomfaktorisierung die es uns ermöglichen, sie als Multiplikation von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben.
Erfahren Sie, wie Sie einen Begriff hervorheben, gruppieren, als perfektes quadratisches Trinom schreiben und viele andere Arten von Begriffen bemerkenswerte Produkte, schau dir eines an Liste gelöster Rechnungsaufgaben das wir vorbereitet haben.
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Frage 1. Schreiben Sie den gemeinsamen Faktor in Beweise und faktorisieren Sie die Polynome:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Frage 2. Faktorisieren Sie jedes der Polynome:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Frage 3. Faktorisieren Sie mithilfe der Clustering- und Common-Factor-in-Evidence-Techniken die folgenden Polynome:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Frage 4. Die folgenden Polynome zeigen Differenzen zweier Quadrate. Schreiben Sie jeden von ihnen in faktorisierter Form.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Frage 5. Faktorisieren Sie das folgende Polynom, indem Sie es als Multiplikation schreiben:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Frage 6. Überprüfen Sie, ob jedes der folgenden Trinome ein perfektes quadratisches Trinom darstellt, und führen Sie dann die Faktorisierung durch.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Frage 7. Vervollständigen Sie das folgende Polynom so, dass es ein perfektes quadratisches Trinom ist.
x² + 4x
Frage 8. Finden Sie mithilfe von Faktorisierungstechniken die Wurzeln der Gleichungen:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Zuerst ziehen wir die Quadratwurzel der quadrierten Terme:
√a² = Der
√25b² = 5b
Wie 2. Der. 5b = 10ab → Restlaufzeit des Trinoms. Das Polynom ist also ein perfektes quadratisches Trinom.
Faktorisieren wir: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = X
√25 = 5
2. X. 5 = 10x → passt nicht zum Restterm, der 8x ist. Das Polynom ist also kein perfektes quadratisches Trinom.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → Restlaufzeit des Trinoms. Das Polynom ist also ein perfektes quadratisches Trinom.
Faktorisieren wir: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → Restlaufzeit des Trinoms. Das Polynom ist also ein perfektes quadratisches Trinom.
Faktorisieren wir: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Wir müssen ein perfektes quadratisches Trinom wie folgt schreiben: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Wir müssen also den Wert von y ermitteln. Wir haben:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Daher müssen wir den Term y² = 2² = 4 zum Polynom hinzufügen, damit es ein perfektes quadratisches Trinom ist: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) x als Beweismittel einsetzen:
x.(x – 9) = 0
Dann ist x = 0 oder
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Wurzeln: 0 und 9
b) Wir haben einen Unterschied zwischen zwei Quadraten:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Das heißt, x + 8 = 0 oder x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Wurzeln: -8 und 8.
c) y als Beweismittel einsetzen:
y.(y – 1) = 0
Also y = 0 oder y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Wurzeln: 0 und 1
d) Unter Berücksichtigung von 1 = 1² haben wir eine Differenz zwischen zwei Quadraten:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Also x + 1 = 0 oder x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Wurzeln: – 1 und 1.
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