Übungen zu Koeffizienten und Konkavität der Parabel

Ö Graph einer Funktion 2. Grades, f(x) = ax² + bx + c, ist eine Parabel und die Koeffizienten Der, B Es ist w beziehen sich auf wichtige Merkmale des Gleichnisses, wie z Konkavität.

zusätzlich Scheitelpunktkoordinaten einer Parabel werden aus Formeln berechnet, die die Koeffizienten und den Wert von enthalten diskriminierend Delta.

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Die Diskriminante wiederum ist auch eine Funktion der Koeffizienten und daraus können wir erkennen, ob die Funktion 2. Grades Wurzeln hat oder nicht und welche diese gegebenenfalls sind.

Wie Sie sehen, können wir anhand der Koeffizienten die Form einer Parabel besser verstehen. Weitere Informationen finden Sie unter a Liste der gelösten Aufgaben zur Konkavität der Parabel und den Koeffizienten der Funktion 2. Grades.

Liste der Übungen zu Koeffizienten und Konkavität der Parabel

Frage 1.

Bestimmen Sie die Koeffizienten jeder der folgenden Funktionen 2. Grades und geben Sie die Konkavität der Parabel an.

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

c) f (x) = 4x² – 5

e) f(x) = -5x²

f) f (x) = x² – 1

Frage 2. Bestimmen Sie aus den Koeffizienten der folgenden quadratischen Funktionen den Schnittpunkt der Parabeln mit der Ordinatenachse:

a) f (x) = x² – 2x + 3

b) f (x) = -2x² + 5x

c) f (x) = -x² + 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Frage 3. Berechnen Sie den Wert der Diskriminante $\dpi{120} \bg_white \Delta$ und identifizieren Sie, ob die Parabeln die Achse der Abszissen schneiden.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

Frage 4. Bestimmen Sie die Konkavität und den Scheitelpunkt jeder der folgenden Parabeln:

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0,8x² -x + 1

Frage 5. Bestimmen Sie die Konkavität der Parabel, den Scheitelpunkt und die Schnittpunkte mit den Achsen und zeichnen Sie die folgende quadratische Funktion grafisch auf:

f(x) = 2x² – 4x + 2

Lösung von Frage 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Koeffizienten: a = 8, b = -4 und c = 1

Konkavität: nach oben, da a > 0.

b) f (x) = 2x² + 3x + 5

Koeffizienten: a = 2, b = 3 und c = 5

Konkavität: nach oben, da a > 0.

c) f (x) = -4x² – 5

Koeffizienten: a = -4, b = 0 und c = -5

Konkavität: nach unten, weil a < 0.

e) f(x) = -5x²

Koeffizienten: a = -5, b = 0 und c = 0

Konkavität: nach unten, weil a < 0.

f) f (x) = x² – 1

Koeffizienten: a = 1, b = 0 und c = -1

Konkavität: nach oben, da a > 0.

Lösung von Frage 2

a) f (x) = x² – 2x + 3

Koeffizienten: a= 1, b = -2 und c = 3

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f (0) gegeben. Dieser Punkt entspricht genau dem Koeffizienten c der quadratischen Funktion.

Schnittpunkt = c = 3

b) f (x) = -2x² + 5x

Koeffizienten: a= -2, b = 5 und c = 0

Schnittpunkt = c = 0

c) f (x) = -x² + 2

Koeffizienten: a= -1, b = 0 und c = 2

Schnittpunkt = c = 2

d) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Koeffizienten: a= 0,5, b = 3 und c = -1

Schnittpunkt = c = -1

Lösung von Frage 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Koeffizienten: a = -3, b = -2 und c = 5

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Der. c (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

Da die Diskriminante einen Wert größer als 0 hat, schneidet die Parabel die x-Achse an zwei verschiedenen Punkten.

b) y = 8x² – 2x + 2

Koeffizienten: a = 8, b = -2 und c = 2

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Der. c (-2)^2 - 4.8.2 -60$

Da die Diskriminante einen Wert kleiner als 0 hat, schneidet die Parabel die x-Achse nicht.

c) y = 4x² – 4x + 1

Koeffizienten: a = 4, b = -4 und c = 1

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Der. c (-4)^2 - 4.4.1 0$

Da die Diskriminante gleich 0 ist, schneidet die Parabel die x-Achse in einem einzigen Punkt.

Lösung von Frage 4

a) y = x² + 2x + 1

Koeffizienten: a= 1, b = 2 und c= 1

Konkavität: nach oben, weil a > 0

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

Scheitel:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(-1,0)

b) y = x² – 1

Koeffizienten: a= 1, b = 0 und c= -1

Konkavität: nach oben, weil a > 0

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

Scheitel:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

V(0,-1)

c) y = -0,8x² -x + 1

Koeffizienten: a= -0,8, b = -1 und c= 1

Konkavität: nach unten, weil a < 0

Diskriminierung:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

Scheitel:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1,6} -0,63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4.2}{-3.2} 1,31$

V(-0,63; 1,31)

Lösung von Frage 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Koeffizienten: a = 2, b = -4 und c = 2

Konkavität: nach oben, weil a > 0

Scheitel:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(1,0)

Schnittpunkt mit der y-Achse:

c = 2 ⇒ Punkt (0, 2)

Schnittpunkt mit der x-Achse:

Als $\dpi{120} \bg_white \Delta 0$ , dann schneidet die Parabel die x-Achse in einem einzigen Punkt. Dieser Punkt entspricht den (gleichen) Wurzeln der Gleichung 2x² – 4x + 2, die durch bestimmt werden kann Bhaskaras Formel: