Σημάδια εξίσωσης 2ου βαθμού

Ενας Εργασία 2ου βαθμού είναι οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής f(x) = ax² + bx + c = 0, με ο, σι είναι w είναι πραγματικοί αριθμοί και ο διαφορετικό από το μηδέν.

μελετήστε το σημάδια λειτουργίας 2ου βαθμού σημαίνει λέγοντας για ποιες αξίες του Χ η συνάρτηση είναι θετική, αρνητική ή ίση με μηδέν.

δείτε περισσότερα

Μαθητές από το Ρίο ντε Τζανέιρο θα αγωνιστούν για μετάλλια στους Ολυμπιακούς…

Ανοιχτό για εγγραφές για τους Ολυμπιακούς Αγώνες το Μαθηματικό Ινστιτούτο…

Με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να προσδιορίσουμε ποιες είναι οι τιμές του x όπου έχουμε:

f (x) > 0 → θετική συνάρτηση

f (x) < 0 → αρνητική συνάρτηση

f (x) = 0 → μηδενική συνάρτηση

Πώς μπορούμε όμως να το γνωρίζουμε αυτό; Ένας από τους τρόπους μελέτης του πρόσημου μιας συνάρτησης 2ου βαθμού είναι μέσω του γραφήματος της, που είναι α παραβολή.

Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού από το γράφημα

Στο καρτεσιανό επίπεδο, f (x) > 0 αντιστοιχεί στο τμήμα της παραβολής που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, f (x) = 0 το τμήμα της παραβολής που τέμνει τον άξονα x και f (x) < 0, το τμήμα της παραβολής που είναι κάτω από τον άξονα x.

Χρειάζεται λοιπόν να σκιαγραφήσουμε την παραβολή για να αναγνωρίσουμε τα σημάδια της συνάρτησης. Το σκίτσο γίνεται απλά γνωρίζοντας τι το κοιλότητα της παραβολής και αν τέμνει ή όχι τον άξονα x, και αν το κάνει, σε ποια σημεία τέμνει.

Μπορούμε να έχουμε έξι διαφορετικές περιπτώσεις.

Περίπτωση 1) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού με δύο ρίζες $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ είναι $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ευδιάκριτη και κοιλότητα της παραβολής στραμμένη προς τα πάνω.

Από το γράφημα, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: or\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: ή \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \end{matrix}\right.$

Περίπτωση 2) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού με δύο ρίζες $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ είναι $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ευδιάκριτη και κοιλότητα της παραβολής στραμμένη προς τα κάτω.

Από το γράφημα, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: ή \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: ή \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrix}\right.$

Περίπτωση 3) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού με δύο ρίζες $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ είναι $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ίσο και κοίλο της παραβολής στραμμένο προς τα πάνω.

Από το γράφημα, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

Περίπτωση 4) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού με δύο ρίζες $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ είναι $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ίσο και κοίλο της παραβολής στραμμένο προς τα κάτω.

Από το γράφημα, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

Περίπτωση 5) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού χωρίς πραγματικές ρίζες και κοιλότητα της παραβολής στραμμένη προς τα πάνω.

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε f (x) > 0 για κάθε x που ανήκει στους πραγματικούς.

Περίπτωση 6) Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού χωρίς πραγματικές ρίζες και κοιλότητα της παραβολής στραμμένη προς τα κάτω.

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε f (x) < 0 για κάθε x που ανήκει στους πραγματικούς.

Πώς να ελέγξετε την κοιλότητα της παραβολής

Η κοιλότητα της παραβολής μπορεί να προσδιοριστεί από την τιμή του συντελεστή ο της συνάρτησης του 2ου βαθμού.

Αν a > 0, τότε η παραβολή είναι κοίλη προς τα πάνω.
Αν a < 0, τότε η παραβολή είναι κοίλη προς τα κάτω.

Πώς να ελέγξετε αν η παραβολή τέμνει τον άξονα x

Ελέγχοντας εάν η παραβολή τέμνει ή όχι τον άξονα x σημαίνει να προσδιορίσετε εάν η συνάρτηση έχει ή όχι ρίζες και, αν ναι, ποιες είναι αυτές. Μπορούμε να το προσδιορίσουμε υπολογίζοντας το οξυδερκής: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

αν $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, η συνάρτηση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες και η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο διαφορετικά σημεία.
αν $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, η συνάρτηση έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες, η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα μόνο σημείο.
αν $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, η συνάρτηση δεν έχει πραγματικές ρίζες και η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα x, όντας εντελώς πάνω του άξονα x αν είναι κοίλος προς τα πάνω και εντελώς κάτω από τον άξονα x αν είναι κοίλος προς τα κάτω χαμηλός.

Στις δύο πρώτες περιπτώσεις όπου υπάρχουν ρίζες, μπορούν να υπολογιστούν από το ο τύπος του bhaskara.

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

Πώς να σχηματίσετε τη γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης
Συντεταγμένες κορυφής παραβολής
Ασκήσεις συνάρτησης πρώτου βαθμού (συνάρτηση affine)
Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις – Ημίτονο, Συνημίτονο και Εφαπτομένη

Μαθηματική δραστηριότητα: Προβληματικές καταστάσεις

Σημάδια εξίσωσης 2ου βαθμού

Σημάδια συνάρτησης 2ου βαθμού από το γράφημα

Πώς να ελέγξετε την κοιλότητα της παραβολής

Πώς να ελέγξετε αν η παραβολή τέμνει τον άξονα x

Μαθηματική δραστηριότητα: Προβληματικές καταστάσεις

Ερμηνεία κειμένου: Το μυρμήγκι και το περιστέρι

Πορτογαλική δραστηριότητα: Επιρρήματα χρόνου