Suma y resta de fracciones algebraicas

A suma y resta de fracciones algebraicas se hace de manera similar a sumar y restar fracciones numéricas, la diferencia es que en fracciones algebraicas tratamos con polinomios.

Cuando los denominadores de las fracciones algebraicas son iguales, basta con sumar o restar los numeradores y mantener el denominador.

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Sin embargo, si los denominadores son diferentes, debemos escribir fracciones equivalentes con igual denominador para luego hacer la suma o resta. En este caso, calcule el CMM de polinomios

Fracciones algebraicas con denominador común

Si los denominadores de las fracciones algebraicas son iguales, sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

Ejemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} \frac{7x+3x}{y^2} \frac{10x}{y^2 } }$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} \frac{9 + a - (a-b)}{b-1} \frac{ 9 -b}{b-1} }$

Fracciones algebraicas con diferentes denominadores

Si los denominadores de las fracciones algebraicas son diferentes, calculamos el MCM de los denominadores y escribimos fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Luego calculamos la suma o resta igual que en el caso anterior, de igual denominador.

Ejemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}}$ .

Factorizamos cada uno de los polinomios que están en el denominador:

$\dpi{120} \mathrm{2y 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x 2\cdot x}$

El MMC es el producto entre los factores, pero sin repetir los mismos factores:

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC 2\cdot y\cdot x 2yx}$

Tenga en cuenta que no repetimos el número 2, que aparece en la factorización de los dos polinomios.

Usando MMC, reescribimos fracciones equivalentes con el mismo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2}{2yx}+ \frac{y^2}{2yx}}$

Finalmente, calculamos la suma de fracciones algebraicas que ya tienen el mismo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2+y^2}{2yx}}$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Para encontrar el MMC entre los polinomios que están en el denominador, factorizamos cada uno de ellos.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 a^2 - 3^2 (a-3)\cdot (a+3)}$ → factorizar la diferencia de dos cuadrados

$\dpi{120} \mathrm{a+ 3 a+3}$ → sigue igual

El MMC es el producto entre los factores, pero sin repetir los mismos factores.

$\dpi{120} \mathrm{\Flecha derecha MMC (a+3)\cdot (a-3)}$

Nótese que no repetimos (a + 3), que aparece en la factorización de los dos polinomios.

Usando MMC, reescribimos fracciones equivalentes con el mismo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a}{(a+3)\cdot (a-3)} -\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Finalmente, calculamos la suma de fracciones algebraicas que ya tienen el mismo denominador:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a - 7(a-3)}{(a+3)\ cdot (a-3)} \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3 ) )} }$

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