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Signos de una ecuación de segundo grado

Uno papel de segundo grado es cualquier función de la forma f(x) = ax² + bx + c = 0, con El, B Es w siendo números reales y El diferente de cero.

estudiar el signos de una función de segundo grado significa decir para qué valores de X la función es positiva, negativa o igual a cero.

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De esta forma necesitamos identificar cuales son los valores de x donde tenemos:

f (x) > 0 → función positiva

f (x) < 0 → función negativa

f (x) = 0 → función nula

Pero, ¿cómo podemos saber esto? Una de las formas de estudiar el signo de una función de segundo grado es a través de su gráfica, que es una parábola.

Signos de una función de segundo grado del gráfico

En el plano cartesiano, f (x) > 0 corresponde a la parte de la parábola que está por encima del eje x, f (x) = 0 la parte de la parábola que corta al eje x y f (x) < 0, la parte de la parábola que está debajo del eje x.

Entonces solo necesitamos dibujar la parábola para identificar los signos de la función. El boceto se hace simplemente sabiendo lo que concavidad de la parábola y si se cruza o no con el eje x, y si lo hace, en qué puntos se cruza.

Podemos tener seis casos diferentes.

Caso 1) Signos de una función de segundo grado con dos raíces \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_1} Es \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_2} distinta y concavidad de la parábola hacia arriba.

signos de función de segundo grado

Del gráfico podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matriz} \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{x x_1} \: o\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1 \: o \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x_1 x x_2} {\color{Blanco} 0000} \end{matriz}\right.

Caso 2) Signos de una función de segundo grado con dos raíces \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_1} Es \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_2} distinta y concavidad de la parábola hacia abajo.

Signos de una función de segundo grado

Del gráfico podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matriz} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{Blanco} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1 \: o \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{x x_1} \: o \: \mathrm{x x_2 }} \end{matriz}\right.

Caso 3) Signos de una función de segundo grado con dos raíces \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_1} Es \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_2} igual y concavidad de la parábola hacia arriba.

Signos de una función de segundo grado

Del gráfico podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matriz} \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matriz}\right.

Caso 4) Signos de una función de segundo grado con dos raíces \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_1} Es \dpi{120} \bg_blanco \mathrm{x_2} igual y concavidad de la parábola hacia abajo.

Signos de una función de segundo grado

Del gráfico podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matriz} \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matriz}\right.

Caso 5) Signos de una función de segundo grado sin raíces reales y parábola cóncava hacia arriba.Signos de una función de segundo grado

En este caso, tenemos f (x) > 0 para cualquier x perteneciente a los reales.

Caso 6) Signos de una función de 2º grado sin raíces reales y concavidad de la parábola hacia abajo.

Signos de una función de segundo grado

En este caso, tenemos f (x) < 0 para cualquier x perteneciente a los reales.

Cómo comprobar la concavidad de la parábola

La concavidad de la parábola se puede determinar por el valor del coeficiente El de la función de segundo grado.

  • Si a > 0, entonces la parábola es cóncava hacia arriba;
  • Si a < 0, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

Cómo comprobar si la parábola se cruza con el eje x

Verificar si la parábola interseca o no el eje x significa determinar si la función tiene raíces o no y, de ser así, cuáles son. Esto lo podemos determinar calculando el discriminante: \dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c.

  • si \dpi{120} \bg_blanco \Delta > 0, la función tiene dos raíces reales diferentes y la parábola corta el eje x en dos puntos diferentes.
  • si \dpi{120} \bg_blanco \Delta = 0, la función tiene dos raíces reales iguales, la parábola corta el eje x en un solo punto.
  • si \dpi{120} \bg_blanco \Delta < 0, la función no tiene raíces reales y la parábola no corta el eje x, estando completamente por encima del eje x si es cóncavo hacia arriba y completamente debajo del eje x si es cóncavo hacia abajo bajo.

En los dos primeros casos donde hay raíces, se pueden calcular a partir de la fórmula de bhaskara.

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