Fonctions trigonométriques à double arc

Dans l'étude de fonctions trigonométriques, il y a souvent des problèmes impliquant arcs doubles. Par conséquent, connaissant les formules spécifiques des sinus, cosinus C'est tangente ce type d'arc est fondamental pour simplifier de nombreux calculs.

Considérez n'importe quel arc de mesure $\dpi{120} \alpha$ , le double arc est l'arc de mesure $\dpi{120} 2\alpha$ . De cette façon, nous voulons obtenir les formules des sinus de $\dpi{120} 2\alpha$ , cosinus de $\dpi{120} 2\alpha$ et tangente de $\dpi{120} 2\alpha$ .

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Ces formules peuvent être obtenues à partir du formules d'addition à deux arcs:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Rappelez-vous l'utilisation de ces formules à partir d'un exemple où l'on obtient le sinus de 75° à partir du sinus et du cosinus de angles remarquables 30° et 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Voyons maintenant comment les formules de la fonctions trigonométriques à double arc.

Fonctions trigonométriques des arcs doubles

Étant donné un arc de mesure $\dpi{120} \alpha$ , le double arc est l'arc de mesure

$\dpi{120} 2\alpha$ . Depuis $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , nous pouvons utiliser les formules d'addition de deux arcs pour obtenir les formules du double arc.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sens\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sens\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Par conséquent, la sinus à double arc est obtenu par la formule suivante :

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sens\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Maintenant, voyez que :

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sens\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sens\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Par conséquent, la cosinus d'arc double est obtenu par la formule suivante :

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Concernant la tangente, nous avons :

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$