Il existe certaines techniques de factorisation polynomiale ce qui nous permet de les écrire sous la forme d'une multiplication de deux polynômes ou plus.
Pour apprendre à surligner un terme, à faire des regroupements, à écrire comme un trinôme carré parfait, et bien d'autres types de produits notables, découvrez-en un liste des exercices de facturation résolus que nous avons préparé.
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Question 1. En écrivant le facteur commun en évidence, factorisez les polynômes :
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Question 2. Factoriser chacun des polynômes :
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Question 3. À l'aide des techniques de regroupement et de facteur commun dans la preuve, factorisez les polynômes suivants :
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Question 4. Les polynômes ci-dessous montrent les différences de deux carrés. Écris chacun d'eux sous forme factorisée.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Question 5. Factorisez le polynôme suivant en écrivant sous la forme d'une multiplication :
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Question 6. Vérifiez que chacun des trinômes ci-dessous représente un trinôme carré parfait, puis faites la factorisation.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Question 7. Complète le polynôme ci-dessous pour qu'il soit un trinôme carré parfait.
x² + 4x
Question 8. En utilisant des techniques de factorisation, trouvez les racines des équations :
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – par + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x - (x + y)) = (x + x + y).(x - x - y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a - b + 2 + a - b - 2). (une - b + 2 - une + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Tout d'abord, nous prenons la racine carrée des termes que nous élevons au carré :
√a² = Le
√25b² = 5b
Comme 2. Le. 5b = 10ab → terme restant du trinôme. Donc le polynôme est un trinôme carré parfait.
Factorisons: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = X
√25 = 5
2. X. 5 = 10x → ne correspond pas au terme restant qui est 8x. Donc le polynôme n'est pas un trinôme carré parfait.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → terme restant du trinôme. Donc le polynôme est un trinôme carré parfait.
Factorisons: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4ème
√9b² = 3b
2. 4ème. 3b = 24ab → terme restant du trinôme. Donc le polynôme est un trinôme carré parfait.
Factorisons: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
On doit écrire un trinôme carré parfait comme suit: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Il faut donc trouver la valeur de y. Nous avons:
2xy = 4x
2a = 4
y = 4/2
y = 2
Ainsi, il faut ajouter le terme y² = 2² = 4 au polynôme pour qu'il soit un trinôme carré parfait: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Mettre x en évidence :
x.(x – 9) = 0
Alors x = 0 ou
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Racines: 0 et 9
b) Nous avons une différence entre deux carrés :
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Autrement dit, x + 8 = 0 ou x - 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Racines: -8 et 8.
c) Mettre y en évidence :
y.(y – 1) = 0
Donc y = 0 ou y - 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Racines: 0 et 1
d) En se souvenant que 1 = 1², on a une différence entre deux carrés :
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Donc x + 1 = 0 ou x - 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Racines: – 1 et 1.
Voir aussi :