Postoje neke tehnike faktorizacija polinoma koji nam omogućuju da ih napišemo kao množenje dvaju ili više polinoma.
Da biste naučili kako istaknuti pojam, grupirati, pisati kao trinom savršenog kvadrata i mnoge druge vrste značajnih proizvoda, pogledajte jedan popis riješenih vježbi fakturiranja koje smo pripremili.
vidi više
Učenici iz Rio de Janeira borit će se za medalje na Olimpijskim igrama…
Institut za matematiku otvoren je za prijave za Olimpijadu…
Pitanje 1. Zapisivanjem zajedničkog faktora u dokaze, faktorirajte polinome:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
pitanje 2. Rastavite svaki od polinoma na faktore:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
pitanje 3. Koristeći tehnike grupiranja i zajedničkog faktora u dokazima, faktorizirajte sljedeće polinome:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
pitanje 4. Donji polinomi pokazuju razlike dvaju kvadrata. Napiši svaku od njih rastavljenu na faktore.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
pitanje 5. Faktorizirajte sljedeći polinom zapisujući ga kao množenje:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Pitanje 6. Provjerite predstavlja li svaki od trinoma u nastavku trinom savršenog kvadrata, a zatim izvršite faktorizaciju.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Pitanje 7. Dovršite donji polinom tako da bude trinom savršenog kvadrata.
x² + 4x
Pitanje 8. Koristeći tehnike faktoringa, pronađite korijene jednadžbi:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y)² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4. (2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Prvo, vadimo kvadratni korijen članova koje kvadriramo:
√a² = The
√25b² = 5b
Kao 2. The. 5b = 10ab → preostali član trinoma. Dakle, polinom je trinom savršenog kvadrata.
Rastavimo na faktore: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → ne odgovara preostalom članu koji je 8x. Dakle, polinom nije trinom savršenog kvadrata.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → preostali član trinoma. Dakle, polinom je trinom savršenog kvadrata.
Rastavimo na faktore: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → preostali član trinoma. Dakle, polinom je trinom savršenog kvadrata.
Rastavimo na faktore: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Trinom savršenog kvadrata moramo napisati na sljedeći način: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Dakle, moramo pronaći vrijednost y. Imamo:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Dakle, polinomu moramo dodati izraz y² = 2² = 4 tako da bude trinom savršenog kvadrata: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Stavljanje x u dokaz:
x.(x – 9) = 0
Tada je x = 0 ili
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Korijeni: 0 i 9
b) Imamo razliku između dva kvadrata:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Odnosno, x + 8 = 0 ili x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Korijeni: -8 i 8.
c) Stavljanje y kao dokaz:
y.(y – 1) = 0
Dakle, y = 0 ili y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Korijeni: 0 i 1
d) Sjetimo se da je 1 = 1², imamo razliku između dva kvadrata:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Dakle, x + 1 = 0 ili x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Korijeni: – 1 i 1.
Vidi također:
