Fungsi trigonometri busur ganda

click fraud protection

Dalam studi tentang fungsi trigonometri, sering ada masalah yang melibatkan lengkungan ganda. Oleh karena itu, mengetahui formula spesifik dari sinus, kosinus Dia garis singgung jenis busur ini sangat mendasar dalam menyederhanakan banyak perhitungan.

Pertimbangkan busur ukuran apa pun $\dpi{120} \alfa$ , busur ganda adalah busur ukuran $\dpi{120} 2\alfa$ . Dengan cara ini, kami ingin mendapatkan rumus sinus dari $\dpi{120} 2\alfa$ , cosinus dari $\dpi{120} 2\alfa$ dan tangen dari $\dpi{120} 2\alfa$ .

lihat lebih banyak

Siswa dari Rio de Janeiro akan bersaing memperebutkan medali di Olimpiade…

Institut Matematika membuka pendaftaran untuk Olimpiade…

Rumus ini dapat diperoleh dari rumus penjumlahan dua busur:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Ingat penggunaan rumus ini dari contoh di mana kita mendapatkan sinus 75° dari sinus dan cosinus dari sudut yang luar biasa 30° dan 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Sekarang, mari kita lihat bagaimana rumus dari fungsi trigonometri busur ganda.

Fungsi trigonometri busur ganda

Diberi busur ukuran $\dpi{120} \alfa$ , busur ganda adalah busur ukuran $\dpi{120} 2\alfa$ . Sejak $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , kita bisa menggunakan rumus untuk menjumlahkan dua busur untuk mendapatkan rumus busur ganda.

instagram story viewer

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Oleh karena itu, sinus busur ganda diperoleh dengan rumus berikut:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Sekarang, lihat bahwa:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Oleh karena itu, cosinus busur ganda diperoleh dengan rumus berikut:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Mengenai garis singgung, kami memiliki:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$