Principio fondamentale del conteggio

principio fondamentale del conteggio (PFC) è uno dei metodi di conteggio dei numeri analisi combinatoria. Questo principio ci permette di calcolare il numero di combinazioni possibili con elementi che possono essere ottenuti in modi diversi.

Il PFC è un metodo semplice ma molto utile, essendo ampiamente utilizzato nei problemi di probabilità, nella determinazione del numero di eventi possibili.

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principio fondamentale del conteggio

Per spiegare di più su PFC, usiamo alcuni esempi.

Esempio 1

Per andare da casa sua allo zoo, Júlio deve prendere un autobus che lo porti alla stazione e, alla stazione, deve prendere un altro autobus.

Supponiamo che ci siano tre linee di autobus che ti portano alla stazione, le linee A1, A2 e A3, e che ci siano due linee che ti portano dalla stazione allo zoo, le linee B1 e B2. Lo schema seguente illustra questa situazione:

Júlio può andare da casa sua allo zoo in tutti i modi possibili, combinando le linee di autobus disponibili.

Dall'illustrazione, possiamo vedere che ci sono 6 possibilità in totale. Tuttavia, possiamo scoprire questo risultato anche senza l'illustrazione.

Per PFC, moltiplichiamo il numero di possibili linee nella prima parte del percorso per il numero di possibili linee nella seconda parte:

Da casa alla stazione: Linee A1, A2 e A3 → 3 diversi modi;
Dalla stazione allo zoo: Linee B1 e B2 → 2 diversi modi;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Esempio 2

In un ristorante, il cliente può scegliere tra 4 opzioni per l'antipasto, 5 opzioni per il piatto principale e 3 opzioni per il dessert. In quanti modi possibili un cliente può scegliere un antipasto, un piatto principale e un dolce in questo ristorante?

Proibito: 4 opzioni;
Portata principale: 5opzioni;
Dolce: 3 opzioni.

Per il PFC basta moltiplicare queste tre quantità: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Sono quindi 60 le possibili combinazioni tra cui il cliente può scegliere, con un antipasto, un secondo e un dolce in questo ristorante.

Esempio 3

Quante parole diverse si possono formare cambiando l'ordine delle lettere nella parola SCHOOL?

Guarda che le lettere della parola scuola non si ripetono, sono tutte diverse. Quindi, nelle parole formate, non possono esserci nemmeno lettere ripetute.

Considerando le 6 possibili posizioni per le lettere nella parola, abbiamo:

1a posizione: 6 lettere disponibili;
2a posizione: 5 lettere disponibili;
3a posizione: 4 lettere disponibili;
4a posizione: 3 lettere disponibili;
5a posizione: 2 lettere disponibili;
6a posizione: 1 lettera disponibile.

Per il PFC basta moltiplicare queste quantità:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Guarda quanto è importante il PFC! Senza di esso, dovremmo scrivere tutte le parole possibili e poi contarle per arrivare al numero 720.

Vengono chiamate parole formate dalle lettere di un altro anagrammi.

Probabilità

Il PFC ha molte applicazioni nei problemi di probabilità. Il principio viene utilizzato per determinare il numero di possibili eventi in un esperimento.

Esempio:

Si lancia un dado tre volte di seguito e si verifica la faccia ottenuta. Qual è la probabilità che ci sia una faccia pari al primo lancio, una faccia dispari al secondo lancio e una faccia maggiore di 4 al terzo lancio?

Casi favorevoli:

1° lancio: 3 possibilità (facce 2, 4 e 6);
2° lancio: 3 possibilità (facce 1, 3 e 5);
3° lancio: 2 possibilità (faccia 5 e 6).

Per PFC, per ottenere il numero di casi favorevoli, basta moltiplicare le quantità:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Possibili casi:

1° lancio: 6 possibilità (facce 1, 2, 3, 4, 5 e 6);
2° lancio: 6 possibilità (facce 1, 2, 3, 4, 5 e 6);
3° lancio: 6 possibilità (facce 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Da PFC, possiamo anche ottenere il numero di casi possibili:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Quindi, possiamo calcolare la probabilità desiderata:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Totale \, di \, casi\, \acute{a}able}{Totale \, di\, possibili \ casi} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \circa 0,083}$

Pertanto, la possibilità che abbia una faccia pari al primo lancio e una faccia dispari al secondo lancio e una faccia maggiore di 4 al terzo lancio è uno su dodici, che equivale a circa 0,083 o 8,3%.

Analisi combinatoria

Dal PFC si ottengono altre tecniche per il conteggio degli elementi: permutazione, disposizione e combinazione.

Permutazione

Consente di calcolare il numero di possibilità di organizzare un totale di n elementi, cambiando le posizioni degli elementi tra loro.

$\dpi{120} P_n n!$

Disposizione

Permette di calcolare il numero di possibilità di organizzare n elementi in gruppi di dimensione p, quando l'ordine degli elementi è importante all'interno di ciascun gruppo.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Combinazione

Permette di calcolare il numero di possibilità di organizzare n elementi in gruppi di dimensione p, quando l'ordine degli elementi NO è importante all'interno di ogni gruppo.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

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