O massimo comun divisore(MDC) tra due o più numeri interi corrisponde al più grande divisore comune che esiste tra loro. Nel mezzo polinomi, l'MDC ha la stessa idea.
Quindi, per capire come calcolare il MCD tra polinomi, è importante sapere come calcolare il MCD degli interi.
Vedi altro
Gli studenti di Rio de Janeiro gareggeranno per le medaglie alle Olimpiadi...
L'Istituto di Matematica è aperto per le iscrizioni alle Olimpiadi...
In pratica, l'MDC può essere ottenuto come prodotto di fattori primari comuni che esistono tra i numeri.
Esempio: Calcola MCD tra 16 e 24.
Scomposizione in fattori primi:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
Il MCD tra 16 e 24 è il prodotto dei fattori comuni ai due numeri, cioè
MCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Ora vediamo come trovare MCD di polinomi. Inizieremo dal caso più semplice, con polinomi formati da un solo termine: il monomi.
Vediamo alcuni esempi su come calcolare il MCD tra due o più monomi.
Esempio 1: MDC tra 6x e 15x.
Scomponendo in fattori primi si ha:
6 = 2. 3 e 15 = 3. 5
Pertanto, possiamo scrivere ciascuno dei monomi come segue:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Pertanto, l'MDC è 3x.
Esempio 2: MDC tra 18x²y e 30xy.
Scomponendo in fattori primi si ha:
18 = 2. 3. 3 e 30 = 2. 3. 5
Pertanto, possiamo scrivere ciascuno dei monomi come segue:
18x²y = 2. 3. 3. x². e = 2. 3. 3. X. X. si
30xy = 2. 3. 5. X. si
2. 3. X. y = 6x
Quindi, l'MDC lo è 6xy.
Per trovare il MCD dei polinomi, per prima cosa controlliamo se è possibile scomporre in fattori ciascuno di essi. Per questo, usiamo tecniche di fattorizzazione polinomiale.
Esempio 1: MCD tra (x² – y²) e (2x – 2y).
Si noti che il primo polinomio corrisponde a una differenza di due quadrati. Quindi possiamo fattorizzarlo come segue:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Già nel secondo polinomio possiamo scrivere il fattore comune, 2, in evidenza:
2x – 2y = 2.(x – y)
In questo modo abbiamo:
x² – y² = (x - y).(x+y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Quindi, il MCD tra i polinomi è (x - y).
Esempio 2: MCD tra (x³ + 27) e (x² + 6x + 9).
Il primo polinomio corrisponde a una somma tra due cubi, vedi:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
E il secondo polinomio, elevato al quadrato della somma di due termini:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Quindi, dobbiamo:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Pertanto, il MCD tra i polinomi è (x + 3).
Esempio 3: MCD tra (2x² – 32) e (x³ + 12x² + 48x + 64).
Qui, il primo polinomio è una differenza tra due quadrati:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Nel frattempo, il secondo polinomio è il cubo della somma di due termini:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Quindi, dobbiamo:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Pertanto, il MCD tra i polinomi è (x + 4).
Confusione tra i concetti di MDC e MMC (minimo comune multiplo). Tuttavia, mentre MCD corrisponde al massimo comune divisore, MMC è dato dal minimo comune multiplo.
MMC è uno strumento molto utile per risolvere equazioni frazionarie perché, in generale, i denominatori del frazioni non sono la stessa cosa.
In queste situazioni, ciò che facciamo è estrarre l'MMC tra i denominatori e da lì scrivere frazioni equivalenti dello stesso denominatore.
Tuttavia, i denominatori non sono sempre numeri noti, possono essere espressioni algebriche o polinomi. Pertanto, è comune dover calcolare il polinomio MMC.
In questo momento, è importante non confondere e desiderare trova il MCD dell'equazione, quando ciò che deve essere calcolato è l'MMC dell'equazione.
Potrebbero interessarti anche:
