Segni di un'equazione di 2° grado

Uno Funzione di 2° grado è qualsiasi funzione della forma f(x) = ax² + bx + c = 0, con IL, B È w essendo numeri reali e IL diverso da zero.

studiare il segni di una funzione di 2° grado significa dire per quali valori di X la funzione è positiva, negativa o uguale a zero.

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In questo modo dobbiamo individuare quali sono i valori di x dove abbiamo:

f (x) > 0 → funzione positiva

f (x) < 0 → funzione negativa

f (x) = 0 → funzione nulla

Ma come possiamo saperlo? Uno dei modi per studiare il segno di una funzione di 2° grado è attraverso il suo grafico, che è a parabola.

Segni di una funzione di 2° grado dal grafico

Al piano cartesiano, f (x) > 0 corrisponde alla parte della parabola che si trova al di sopra dell'asse x, f (x) = 0 la parte della parabola che interseca l'asse x e f (x) < 0, la parte della parabola cioè sotto l'asse x.

Quindi ci basta disegnare la parabola per identificare i segni della funzione. Lo schizzo è fatto semplicemente sapendo cosa il

concavità della parabola e se interseca o meno l'asse x, e se lo fa, in quali punti lo fa.

Possiamo avere sei casi diversi.

Caso 1) Segni di una funzione di 2° grado con due radici $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ È $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinta e concavità della parabola rivolta verso l'alto.

Dal grafico possiamo identificare che:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: or\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: o \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{Bianco} 0000} \end{matrice}\giusto.$

Caso 2) Segni di una funzione di 2° grado con due radici $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ È $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ distinta e concavità della parabola rivolta verso il basso.

Dal grafico possiamo identificare che:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: o \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: o \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrice}\giusto.$

Caso 3) Segni di una funzione di 2° grado con due radici $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ È $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ uguale e concavità della parabola rivolta verso l'alto.

Dal grafico possiamo identificare che:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.$

Caso 4) Segni di una funzione di 2° grado con due radici $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ È $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ uguale e concavità della parabola rivolta verso il basso.

Dal grafico possiamo identificare che:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.$

Caso 5) Segni di una funzione di 2° grado senza radici reali e parabola concava verso l'alto.

In questo caso, abbiamo f (x) > 0 per ogni x appartenente ai reali.

Caso 6) Segni di una funzione di 2° grado senza radici reali e concavità della parabola rivolta verso il basso.

In questo caso, abbiamo f (x) < 0 per ogni x appartenente ai reali.

Come controllare la concavità della parabola

La concavità della parabola può essere determinata dal valore del coefficiente IL della funzione di 2° grado.

Se a > 0, allora la parabola è concava verso l'alto;
Se a < 0, allora la parabola è concava verso il basso.

Come verificare se la parabola interseca l'asse x

Verificare se la parabola interseca o meno l'asse x significa determinare se la funzione ha o meno radici e, in tal caso, quali sono. Possiamo determinarlo calcolando il discriminante: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

Se $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, la funzione ha due radici reali diverse e la parabola interseca l'asse x in due punti diversi.
Se $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, la funzione ha due radici reali uguali, la parabola interseca l'asse x in un unico punto.
Se $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, la funzione non ha radici reali e la parabola non interseca l'asse x, essendo interamente al di sopra dell'asse x se è concava verso l'alto e completamente al di sotto dell'asse x se è concava verso il basso Basso.

Nei primi due casi in cui sono presenti le radici, possono essere calcolate dal la formula di Bhaskara.

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