עקרון יסוד של ספירה

עקרון יסוד של ספירה (PFC) היא אחת משיטות ספירת המספרים ניתוח קומבינטורי. עיקרון זה מאפשר לנו לחשב את מספר השילובים האפשריים עם אלמנטים שניתן להשיג בדרכים שונות.

ה-PFC היא שיטה פשוטה אך שימושית מאוד, שנמצאת בשימוש נרחב בבעיות הסתברות, בקביעת מספר האירועים האפשריים.

ראה עוד

תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...

המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...

עקרון יסוד של ספירה

כדי להסביר יותר על PFC, בואו נשתמש בכמה דוגמאות.

דוגמה 1

כדי לנסוע מביתו לגן החיות, ג'וליו צריך לקחת אוטובוס שלוקח אותו לתחנה ובתחנה, הוא צריך לקחת אוטובוס אחר.

נניח שיש שלושה קווי אוטובוס שמובילים אותך לתחנה, קווים A1, A2 ו-A3, ושיש שני קווים שמובילים אותך מהתחנה לגן החיות, קווים B1 ו-B2. התרשים שלהלן ממחיש מצב זה:

בכמה שיותר דרכים ג'וליו יכול ללכת מביתו לגן החיות, תוך שילוב קווי האוטובוס הזמינים.

מהאיור, אנו יכולים לראות שיש 6 אפשרויות בסך הכל. עם זאת, אנו יכולים לגלות תוצאה זו גם ללא ההמחשה.

לפי PFC, נכפיל את מספר הקווים האפשריים בחלק הראשון של הנתיב במספר הקווים האפשריים בחלק השני:

מהבית לתחנה: קווים A1, A2 ו-A3 → 3 דרכים שונות;
מהתחנה לגן החיות: קווים B1 ו-B2 → 2 דרכים שונות;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

דוגמה 2

במסעדה הלקוח יכול לבחור בין 4 אפשרויות למנות ראשונות, 5 אפשרויות למנה עיקרית ו-3 אפשרויות לקינוח. בכמה דרכים אפשריות לקוח יכול לבחור במסעדה זו מנה ראשונה, מנה עיקרית וקינוח?

אָסוּר: 4 אפשרויות;
מנה עיקרית: 5אפשרויות;
קינוח: 3 אפשרויות.

לפי ה-PFC, פשוט תכפיל את שלושת הכמויות האלה: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

לכן, ישנם 60 שילובים אפשריים שהלקוח יכול לבחור, עם מנה ראשונה, מנה עיקרית וקינוח במסעדה זו.

דוגמה 3

כמה מילים שונות אפשר ליצור על ידי שינוי סדר האותיות במילה SCHOOL?

ראו שהאותיות של המילה אסכולה אינן חוזרות על עצמן, כולן שונות. ואז, במילים שנוצרו, לא ניתן גם לחזור על אותיות.

בהתחשב ב-6 המיקומים האפשריים לאותיות במילה, יש לנו:

מיקום 1: 6 מכתבים זמינים;
מיקום שני: 5 מכתבים זמינים;
מיקום 3: 4 מכתבים זמינים;
מיקום רביעי: 3 מכתבים זמינים;
מיקום חמישי: 2 מכתבים זמינים;
מיקום 6: 1 מכתב זמין.

לפי ה-PFC, פשוט תכפיל את הכמויות האלה:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

ראה כמה PFC חשוב! בלי זה, נצטרך לרשום את כל המילים האפשריות ואז לספור אותן כדי להגיע למספר 720.

מילים שנוצרו מאותיות של אחר נקראות אנגרמות.

הִסתַבְּרוּת

ל-PFC יש הרבה יישום בבעיות של הִסתַבְּרוּת. העיקרון משמש לקביעת מספר האירועים האפשריים בניסוי.

דוגמא:

זורקים קובייה שלוש פעמים ברציפות והפנים המתקבלות נבדקות. מה ההסתברות שיש פנים זוגיות בהטלה הראשונה, אי זוגי בהטלה השנייה ופנים גדול מ-4 בהטלה השלישית?

מקרים נוחים:

השקה ראשונה: 3 אפשרויות (פנים 2, 4 ו-6);
מהדורה 2: 3 אפשרויות (פנים 1, 3 ו-5);
השקה שלישית: 2 אפשרויות (פנים 5 ו-6).

לפי PFC, כדי לקבל את מספר המקרים הטובים, פשוט תכפיל את הכמויות:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

מקרים אפשריים:

השקה ראשונה: 6 אפשרויות (פנים 1, 2, 3, 4, 5 ו-6);
מהדורה 2: 6 אפשרויות (פנים 1, 2, 3, 4, 5 ו-6);
השקה שלישית: 6 אפשרויות (פנים 1, 2, 3, 4, 5 ו-6).

על ידי PFC, אנו יכולים גם לקבל את מספר המקרים האפשריים:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

לפיכך, נוכל לחשב את ההסתברות הרצויה:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{סה$

לכן, הסיכוי שהוא הגיע עם פרצוף שווה בהטלה הראשונה, פנים מוזר בהטלה השנייה ופנים גדול מ-4 בהטלה השלישית הוא אחד מתוך שתים עשרה, השווה בערך ל-0.083 או 8,3%.

ניתוח קומבינטורי

מה-PFC מתקבלות טכניקות אחרות לספירת אלמנטים: תמורה, סידור ושילוב.

תְמוּרָה

מאפשר לך לחשב את מספר האפשרויות לארגון סך של n אלמנטים, תוך שינוי מיקומי האלמנטים בינם לבין עצמם.

$\dpi{120} P_n n!$

הֶסדֵר

הוא מאפשר לחשב את מספר האפשרויות לארגן n אלמנטים בקבוצות בגודל p, כאשר סדר האלמנטים חשוב בתוך כל קבוצה.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

קוֹמבִּינַצִיָה

הוא מאפשר לחשב את מספר האפשרויות לארגון n אלמנטים בקבוצות בגודל p, כאשר סדר האלמנטים לא חשוב בכל קבוצה.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

אולי יעניין אותך גם:

הסתברות מותנית
סטטיסטיקה
קיבוץ נתונים לטווחים
אמצעי פיזור
ממוצע, מצב וחציון

עקרון יסוד של ספירה

עקרון יסוד של ספירה

הִסתַבְּרוּת

ניתוח קומבינטורי

פרשנות טקסט: דואט פרימט

פרשנות טקסט: מדוע חלק מהחפצים מחלידים

פרשנות טקסט: דינו דינו