סימנים של משוואה מדרגה 2

אחד עבודה בתואר שני היא כל פונקציה בצורה f(x) = ax² + bx + c = 0, עם ה, ב זה w להיות מספרים ממשיים ו ה שונה מאפס.

ללמוד את סימנים לתפקוד מדרגה 2 פירושו לומר עבור מה ערכים של איקס הפונקציה חיובית, שלילית או שווה לאפס.

ראה עוד

תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...

המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...

בדרך זו, עלינו לזהות מהם הערכים של x היכן שיש לנו:

f (x) > 0 → פונקציה חיובית

f (x) < 0 → פונקציה שלילית

f (x) = 0 → פונקציית null

אבל איך אנחנו יכולים לדעת את זה? אחת הדרכים ללמוד את הסימן של פונקציה מדרגה 2 היא באמצעות הגרף שלה, שהוא א מָשָׁל.

סימנים של פונקציה מדרגה 2 מהגרף

ב מטוס קרטזי, f (x) > 0 מתאים לחלק של הפרבולה שנמצא מעל ציר x, f (x) = 0 החלק של הפרבולה שחותך את ציר x ו-f (x) < 0, החלק של הפרבולה שזה מתחת לציר x.

אז אנחנו רק צריכים לשרטט את הפרבולה כדי לזהות את הסימנים של הפונקציה. הסקיצה נעשית פשוט על ידי ידיעה מה קיעור של הפרבולה והאם הוא חוצה את ציר ה-x או לא, ואם כן, באילו נקודות הוא כן.

יכולים להיות לנו שישה מקרים שונים.

תיק 1) סימנים לתפקוד מדרגה 2 עם שני שורשים $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ זה $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ מובהק וקעור של הפרבולה הפונה כלפי מעלה.

מהגרף, אנו יכולים לזהות כי:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: או\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: או \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{לבן} 0000} \end{מטריקס}\right.$

מקרה 2) סימנים לתפקוד מדרגה 2 עם שני שורשים $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ זה $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ מובהק וקעור של הפרבולה הפונה כלפי מטה.

מהגרף, אנו יכולים לזהות כי:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: או \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: או \: \mathrm{x x_2 }} \end{מטריקס}\right.$

מקרה 3) סימנים לתפקוד מדרגה 2 עם שני שורשים $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ זה $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ שווה וקעור הפרבולה כלפי מעלה.

מהגרף, אנו יכולים לזהות כי:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{מטריקס}\right.$

מקרה 4) סימנים לתפקוד מדרגה 2 עם שני שורשים $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ זה $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ שווה וקעור הפרבולה כלפי מטה.

מהגרף, אנו יכולים לזהות כי:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{מטריקס}\right.$

מקרה 5) סימנים של פונקציה מדרגה 2 ללא שורשים אמיתיים ופרבולה קעורה כלפי מעלה. סימנים לתפקוד מדרגה 2

במקרה זה, יש לנו f (x) > 0 עבור כל x השייך לריאליים.

מקרה 6) סימנים של פונקציה ממדרגה 2 ללא שורשים אמיתיים וקיעור של הפרבולה הפונה כלפי מטה.

במקרה זה, יש לנו f (x) < 0 עבור כל x השייך לריאליים.

כיצד לבדוק את הקיעור של הפרבולה

ניתן לקבוע את קיעור הפרבולה לפי ערך המקדם ה של תפקוד התואר השני.

אם a > 0, אז הפרבולה קעורה כלפי מעלה;
אם a < 0, אז הפרבולה קעורה כלפי מטה.

איך בודקים אם הפרבולה חותכת את ציר ה-x

בדיקה אם הפרבולה חותכת את ציר ה-x או לא משמעה קביעה אם לפונקציה יש שורשים ואם כן, מה הם. אנו יכולים לקבוע זאת על ידי חישוב ה מפלה: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

אם $\dpi{120} \bg_white \Delta$ > 0, לפונקציה יש שני שורשים ממשיים שונים, והפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות שונות.
אם $\dpi{120} \bg_white \Delta$ = 0, לפונקציה יש שני שורשים ממשיים שווים, הפרבולה חותכת את ציר ה-x בנקודה אחת.
אם $\dpi{120} \bg_white \Delta$ < 0, לפונקציה אין שורשים אמיתיים והפרבולה אינה חותכת את ציר ה-x, כשהיא לגמרי מעל של ציר ה-X אם הוא קעור כלפי מעלה ומטה לחלוטין לציר ה-X אם הוא קעור כלפי מטה נָמוּך.