○ 最大公約数(MDC) 2 つ以上の間 整数 最大のものに相当する ディバイダー 二人の間に存在する共通点。 その間 多項式、MDCも同じ考えです。
したがって、多項式間の GCD を計算する方法を理解するには、整数の GCD を計算する方法を知ることが重要です。
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実際には、MDC は次の積として取得できます。 素因数 数字の間に存在する共通点。
例： 16 ～ 24 の間で GCD を計算します。
素因数への分解:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
16 と 24 の間の GCD は、2 つの数値に共通する係数の積です。つまり、
GCD(16, 24) = 2。 2. 2 = 8.
それでは見てみましょう 多項式の GCD を求める方法. 単一の項で形成される多項式を使用した最も単純なケースから始めます。 単項式.
2 つ以上の単項式間の GCD を計算する方法の例をいくつか見てみましょう。
例 1: MDC は 6x ～ 15x です。
素因数に分解すると、次のようになります。
6 = 2. 3 と 15 = 3。 5
したがって、各単項式は次のように書くことができます。
6x = 2。 3. バツ
15x = 3. 5. バツ
したがって、MDC は 3倍.
例 2: 18x²y ～ 30xy の MDC。
素因数に分解すると、次のようになります。
18 = 2. 3. 3 と 30 = 2。 3. 5
したがって、各単項式は次のように書くことができます。
18x²y = 2。 3. 3. x²。 y = 2. 3. 3. バツ. バツ。 y
30xy = 2. 3. 5. バツ. y
2. 3. バツ。 y = 6x
つまり、MDC は 6xy.
多項式の GCD を求めるには、まずそれぞれの因数分解が可能かどうかを確認します。 このために、次のテクニックを使用します。 多項式因数分解.
例 1: (x² – y²) と (2x – 2y) の間の GCD。
最初の多項式は 2 つの平方の差に対応することに注意してください。 したがって、次のように因数分解できます。
x² – y² = (x – y).(x + y)
すでに 2 番目の多項式で、証拠として共通因数 2 を書くことができます。
2x – 2y = 2.(x – y)
このようにして、以下が得られます。
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2。(x - y)
したがって、多項式間の GCD は次のようになります。 (x - y).
例 2: (x³ + 27) と (x² + 6x + 9) の間の GCD。
最初の多項式は 2 つの立方体の和に対応します。以下を参照してください。
x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3).(x2 – 3x + 9)
そして、2 つの項の和を 2 乗した 2 番目の多項式:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
したがって、次のことを行う必要があります。
x3 + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
したがって、多項式間の GCD は次のようになります。 (x + 3)。
例 3: (2x² – 32) と (x³ + 12x² + 48x + 64) の間の GCD。
ここで、最初の多項式は 2 つの平方の差です。
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
一方、2 番目の多項式は 2 つの項の和の 3 乗です。
x 3 + 12x 2 + 48x + 64 = (x) 3 + 3。 (x²)。 (4) + 3. (4²). (x) + (4) 3 = (x + 4) 3 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
したがって、次のことを行う必要があります。
2x² – 32 = 2.(x – 4)。(x + 4)
x3 + 12x2 + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
したがって、多項式間の GCD は次のようになります。 (x + 4).
MDC の概念と MMC (最小公倍数). ただし、GCD は最大公約数に対応しますが、MMC は最小公倍数で与えられます。
MMC は、分数方程式を解く際に非常に便利なツールです。 分数 それらは同じではありません。
このような状況では、分母間の MMC を抽出し、そこから次のように書きます。 相当する分数 同じ分母の。
ただし、分母は必ずしも既知の数であるとは限りません。代数式や多項式の場合もあります。 したがって、計算する必要があるのが一般的です。 多項式MMC.
このとき、混同しないことが重要です。 方程式の GCD を求めます、計算する必要があるのは方程式の MMC である場合。
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