和の立方体と差の立方体 の2種類です 注目の製品、ここで 2 つの項は加算または減算され、その後 3 乗されます。つまり、指数は 3 になります。
(x + y) 3 -> 和の立方体
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(x – y) 3 -> 差の 3 乗
和の立方体は次のように書くこともできます。 (x+y)。 (x+y)。 (x + y) そしてその差の3乗は次のようになります (x – y)。 (x – y)。 (x - y).
これらの製品は代数計算に頻繁に登場するため、その重要性から注目すべき製品の名前が付けられています。
ここで、数学では、値を変更せずに、同じ式を別の方法で書くことができることを思い出してください。 たとえば、x + 1 + 1 は単に x + 2 と書くことができます。
多くの場合、式を書き直すと、多くの代数問題を単純化して解決できます。 したがって、和の 3 乗と差の 3 乗を代数的に展開して書く別の方法を見てみましょう。
○ 和の立方体 は注目すべき積 (x + y) ³ であり、(x + y) と同じです。 (x+y)。 (x+y)。 このようにして、次のように書くことができます。
(x + y) 3 = (x + y)。 (x+y)。 (x + y)
さて、(x + y) について考えてみましょう。 (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y²、和の 3 乗は次のように書くことができます。
(x + y) 3 = (x + y)。 (x² + 2xy + y²)
多項式の乗算 (x + y) by (x² + 2xy + y²) から、次のことがわかります。
(x + y) 3 = x 3 + 2x 2 y + xy 2 + x 2 y + 2xy 2 + y 3
同様の項を追加すると、合計の 3 乗は次のように求められます。
(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
例：
各キューブを代数的に開発します。
a) (x + 5)²
(x + 5)2 = (x) 3 + 3.(x) 2.(5) + 3.(x).(5)2 + (5) 3
= x3 + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x3 +15x2 +75x + 125
b) (1 + 2b) 3
(1 + 2b) 3 = (1) 3 + 3.(1) 2.(2b) + 3.(1).(2b) 2 + (2b) 3
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b2 + 8b3
= 1 + 6b + 12b2 + 8b3
○ 差分キューブ は注目すべき積 (x – y) ³ であり、(x – y) と同じです。 (x – y)。 (x – y)。 したがって、次のことを行う必要があります。
(x – y) 3 = (x – y)。 (x – y)。 (x - y)
(x – y) のように。 (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y²、差の 3 乗は次のように書くことができます。
(x – y) 3 = (x – y)。 (x² – 2xy + y²)
(x – y) に (x² – 2xy + y²) を乗算すると、次のことがわかります。
(x - y) 3 = x3 - 2x2y + xy2 - x2y + 2xy2 - y3
同様の項を追加すると、差の 3 乗は次のように求められます。
(x - y) 3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
例：
各キューブを代数的に開発します。
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x3 – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x3 – 6x2 + 12x – 8
b) (2a – b) 3
(2a - b) 3 = (2a) 3 - 3.(2a) 2.(b) + 3.(2a).(b2) - (b) 3
= 8a3 – 3.4a2.b + 3.2a.b2 – b3
= 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
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