Basisprincipe van tellen

basisprincipe van tellen (PFC) is een van de methoden voor het tellen van getallen combinatorische analyse. Dit principe stelt ons in staat om het aantal mogelijke combinaties met elementen te berekenen die op verschillende manieren kunnen worden verkregen.

De PFC is een eenvoudige maar zeer bruikbare methode, die veel wordt gebruikt bij kansproblemen, bij het bepalen van het aantal mogelijke gebeurtenissen.

Bekijk meer

Studenten uit Rio de Janeiro strijden om medailles op de Olympische Spelen...

Het Instituut voor Wiskunde staat open voor inschrijving voor de Olympische Spelen...

basisprincipe van tellen

Laten we enkele voorbeelden gebruiken om meer over PFC uit te leggen.

voorbeeld 1

Om van zijn huis naar de dierentuin te gaan, moet Júlio een bus nemen die hem naar het station brengt en op het station moet hij een andere bus nemen.

Stel dat er drie buslijnen zijn die je naar het station brengen, lijnen A1, A2 en A3, en dat er twee lijnen zijn die je van het station naar de dierentuin brengen, lijnen B1 en B2. Onderstaand schema illustreert deze situatie:

Júlio kan op zoveel mogelijk manieren van zijn huis naar de dierentuin gaan door de beschikbare buslijnen te combineren.

Uit de afbeelding kunnen we zien dat er in totaal 6 mogelijkheden zijn. We kunnen dit resultaat echter ook ontdekken zonder de illustratie.

Met PFC vermenigvuldigen we het aantal mogelijke lijnen in het eerste deel van het pad met het aantal mogelijke lijnen in het tweede deel:

Van huis naar het station: Lijnen A1, A2 en A3 → 3 verschillende manieren;
Van het station naar de dierentuin: Lijnen B1 en B2 → 2 verschillende manieren;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Voorbeeld 2

In een restaurant kan de klant kiezen uit 4 opties voor voorgerechten, 5 opties voor het hoofdgerecht en 3 opties voor het dessert. Op hoeveel manieren kan een klant in dit restaurant een voorgerecht, hoofdgerecht en dessert kiezen?

Verboden: 4 opties;
Hoofdgerecht: 5opties;
Nagerecht: 3 opties.

Vermenigvuldig met de PFC deze drie hoeveelheden: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Er zijn dan ook 60 mogelijke combinaties waar de klant uit kan kiezen, met een voorgerecht, een hoofdgerecht en een dessert in dit restaurant.

Voorbeeld 3

Hoeveel verschillende woorden kunnen worden gevormd door de volgorde van de letters in het woord SCHOOL te veranderen?

Let erop dat de letters van het woord school niet herhaald worden, ze zijn allemaal verschillend. Dan kunnen er in de gevormde woorden ook geen herhaalde letters voorkomen.

Gezien de 6 mogelijke posities voor de letters in het woord, hebben we:

1e positie: 6 brieven beschikbaar;
2e positie: 5 brieven beschikbaar;
3e positie: 4 brieven beschikbaar;
4e positie: 3 brieven beschikbaar;
5e positie: 2 brieven beschikbaar;
6e positie: 1 brief beschikbaar.

Vermenigvuldig deze hoeveelheden met de PFC:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Zie hoe belangrijk PFC is! Zonder dat zouden we alle mogelijke woorden moeten opschrijven en ze vervolgens moeten tellen om tot het getal 720 te komen.

Woorden gevormd uit de letters van een ander worden genoemd anagrammen.

Waarschijnlijkheid

De PFC heeft veel toepassing in de problematiek van waarschijnlijkheid. Het principe wordt gebruikt om het aantal mogelijke gebeurtenissen in een experiment te bepalen.

Voorbeeld:

Er wordt drie keer achter elkaar met een dobbelsteen gegooid en het verkregen gezicht wordt gecontroleerd. Wat is de kans dat er een even gezicht is bij de eerste worp, een oneven gezicht bij de tweede worp en een gezicht groter dan 4 bij de derde worp?

Gunstige gevallen:

1e lancering: 3 mogelijkheden (gezichten 2, 4 en 6);
2e lancering: 3 mogelijkheden (gezichten 1, 3 en 5);
3e lancering: 2 mogelijkheden (gezicht 5 en 6).

Door PFC, om het aantal gunstige gevallen te verkrijgen, vermenigvuldigt u gewoon de hoeveelheden:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Mogelijke gevallen:

1e lancering: 6 mogelijkheden (vlakken 1, 2, 3, 4, 5 en 6);
2e lancering: 6 mogelijkheden (vlakken 1, 2, 3, 4, 5 en 6);
3e lancering: 6 mogelijkheden (vlakken 1, 2, 3, 4, 5 en 6).

Door PFC kunnen we ook het aantal mogelijke gevallen verkrijgen:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Zo kunnen we de gewenste waarschijnlijkheid berekenen:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Totaal \, van \, gevallen\, \acute{a}able}{Totaal \, van\, mogelijke \ gevallen} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \ongeveer 0,083}$

Daarom is de kans dat het een even gezicht opleverde bij de eerste worp, een oneven gezicht bij de tweede worp en een gezicht groter dan 4 bij de derde worp is één op twaalf, wat gelijk is aan ongeveer 0,083 of 8,3%.

Combinatorische analyse

Van de PFC worden andere technieken voor het tellen van elementen verkregen: permutatie, rangschikking en combinatie.

Permutatie

Hiermee kunt u het aantal mogelijkheden berekenen om in totaal n elementen te organiseren, waarbij u de posities van de elementen onderling verandert.

$\dpi{120} P_n n!$

Regeling

Maakt het mogelijk om het aantal mogelijkheden te berekenen om n elementen in groepen van grootte p te organiseren, wanneer de volgorde van de elementen belangrijk is binnen elke groep.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Combinatie

Hiermee kan het aantal mogelijkheden worden berekend om n elementen in groepen van grootte p te organiseren, wanneer de volgorde van de elementen Nee is belangrijk binnen elke groep.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Mogelijk bent u ook geïnteresseerd:

voorwaardelijke waarschijnlijkheid
Statistiek
Gegevens groeperen in bereiken
Verspreidingsmaatregelen
Gemiddelde, modus en mediaan

Basisprincipe van tellen

basisprincipe van tellen

Waarschijnlijkheid

Combinatorische analyse

Wiskundige activiteit: problemen met aftrekken

Tekstinterpretatie: biografie

Portugese activiteit: actiewerkwoord