O grootste gemene deler(MDC) tussen twee of meer hele getallen komt overeen met de grootste verdeler gemeenschappelijk dat er tussen hen bestaat. Tussenin polynomen, heeft de MDC hetzelfde idee.
Om te begrijpen hoe de GCD tussen polynomen moet worden berekend, is het dus belangrijk om te weten hoe de GCD van gehele getallen moet worden berekend.
Bekijk meer
Studenten uit Rio de Janeiro strijden om medailles op de Olympische Spelen...
Het Instituut voor Wiskunde staat open voor inschrijving voor de Olympische Spelen...
Praktisch gezien kan de MDC worden verkregen als het product van de belangrijkste factoren gemeenschappelijke die bestaan tussen de nummers.
Voorbeeld: Bereken GCD tussen 16 en 24.
Ontleding in priemfactoren:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
De GCD tussen 16 en 24 is het product van de factoren die de twee getallen gemeen hebben, dat wil zeggen,
GGD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Laten we eens kijken hoe GCD van polynomen te vinden
. We beginnen met het eenvoudigste geval, met polynomen gevormd door een enkele term: de monomen.Laten we enkele voorbeelden bekijken van hoe de GCD tussen twee of meer monomials kan worden berekend.
Voorbeeld 1: MDC tussen 6x en 15x.
Ontleden in priemfactoren, hebben we:
6 = 2. 3 en 15 = 3. 5
Daarom kunnen we elk van de monomials als volgt schrijven:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Daarom is de MDC 3x.
Voorbeeld 2: MDC tussen 18x²y en 30xy.
Ontleden in priemfactoren, hebben we:
18 = 2. 3. 3 en 30 = 2. 3. 5
Daarom kunnen we elk van de monomials als volgt schrijven:
18x²y = 2. 3. 3. x². j = 2. 3. 3. X. X. j
30xy = 2. 3. 5. X. j
2. 3. X. y = 6x
Dus de MDC is 6xy.
Om de GCD van polynomen te vinden, gaan we eerst na of het mogelijk is om ze allemaal te ontbinden. Hiervoor gebruiken we technieken van polynoom factorisatie.
Voorbeeld 1: GCD tussen (x² – y²) en (2x – 2y).
Merk op dat het eerste polynoom overeenkomt met een verschil van twee kwadraten. We kunnen het dus als volgt ontbinden:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Al in het tweede polynoom kunnen we de gemeenschappelijke factor, 2, schrijven als bewijs:
2x – 2y = 2.(x – y)
Op deze manier hebben we:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2j = 2.(x - y)
Dus de GCD tussen de polynomen is (x - y).
Voorbeeld 2: GCD tussen (x³ + 27) en (x² + 6x + 9).
De eerste polynoom komt overeen met een som tussen twee kubussen, zie:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
En het tweede polynoom, in het kwadraat van de som van twee termen:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Dus we moeten:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Daarom is de GCD tussen de polynomen (x + 3).
Voorbeeld 3: GCD tussen (2x² – 32) en (x³ + 12x² + 48x + 64).
Hier is de eerste polynoom een verschil tussen twee kwadraten:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Ondertussen is het tweede polynoom de derde macht van de som van twee termen:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Dus we moeten:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Daarom is de GCD tussen de polynomen (x + 4).
Verwarring tussen de concepten van MDC en MMC (kleinste gemene veelvoud). Hoewel GCD overeenkomt met de hoogste gemene deler, wordt MMC gegeven door het kleinste gemene veelvoud.
MMC is een erg handig hulpmiddel bij het oplossen van vergelijkingen met breuken, omdat in het algemeen de noemers van de fracties ze zijn niet hetzelfde.
In deze situaties halen we de MMC tussen de noemers uit en schrijven van daaruit gelijkwaardige breuken van dezelfde noemer.
Noemers zijn echter niet altijd bekende getallen, het kunnen algebraïsche uitdrukkingen of polynomen zijn. Daarom is het gebruikelijk om de polynoom MMC.
Op dit moment is het belangrijk om niet te verwarren en te willen vind de GCD van de vergelijking, wanneer wat moet worden berekend de MMC van de vergelijking is.
Mogelijk bent u ook geïnteresseerd:
